Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 7
7. Para construir outro exemplo da relação entre largura temporal e largura espectral , considere o pacote de ondas [cf. ]
Em que a amplitude de contribuição de frequência é , ou seja, tem largura espectral (fig.). Calcule e a largura temporal correspondente . Comente o resultado.
Sugestão: Para calcular a integral, integre por partes duas vezes.
Passo 1
Vamos para mais um problema, mas fica tranquilo que vamos conseguir lidar com ele.
O próprio enunciado já nos diz que para achar teremos que calcular aquela integral por partes duas vezes, então vamos fazer isso.
Mas caramba tem um ali no meio como integra isso? Na real não integra já que esse é uma constante que representa a largura espectral, então ele não é nada mais que uma constante.
Para encontrarmos o temos que ter em mente que essa largura temporal é referente à meia altura do gráfico de , então temos que saber qual é metade do máximo do gráfico e saber em que isso ocorre.
Mãos à obra então.
Passo 2
Vamos começar a resolver a nossa integral, temos:
Aplicando o método de integração por partes uma vez, temos:
Aquele primeiro termo é zero pois para é zero, já que:
Logo temos um divido por um número muito grande.
Passo 3
Então chagamos ao seguinte:
Agora vamos aplicar integral por partes mais uma vez, temos:
Então temos que:
Agora vamos isolar as integrais do mesmo lado, assim temos:
Então finalmente temos que:
Passo 4
Agora vamos ver a largura temporal, temos:
Essa função é máxima em , onde temos:
Então a meia altura é em . Agora vamos achar o onde isso ocorre e assim teremos .
Temos que:
Assim ficamos com:
Logo temos que
Como podemos ver a largura temporal (ou tempo de coerência) é o inverso da largura espectral (ou largura de frequência). Então quanto mais frequências tivermos no nosso pacote de onda teremos um menor tempo de coerência.