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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 11

11. A transmissividade t é definida como a fração da intensidade incidente sobre uma dada área da superfície de separação (indicada por A   B ¯ na fig. ao lado) que é transmitida para o meio 2 .

a . Mostre que

t = S → 2 cos ⁡ θ 2 S → 1 cos ⁡ θ 1 = tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ 2 E → 2 2 E → 1 2

b . Calcule t ∥ , t ⊥ (inclusive para θ 1 = θ 2 = 0 ).

Passo 1

Então, pronto para mais uma?

Então, a o item ( a ) quer realmente é que mostremos a relação entre a primeira igualdade e a segunda, para isso temos que saber como S 1 e S 2 esses são os vetores de Poynting e ele é definido da seguinte maneira:

S → = n 2 μ 0 c E → 2 k ^

Então o módulo desse vetor é dado por:

S → = n 2 μ 0 c E → 2

Então vamos ter que mexer na expressão que temos e tentar chegar na expressão do enunciado.

Para o item ( b ) basta pegarmos as expressões de amplitude transmissão T | | e T ⊥ e fazer o módulo quadrado vezes tg ⁡ θ 1 / tg ⁡ θ 2 , já que a transmissividade também tem esse fator multiplicando-a ( t =   tg ⁡ θ 1 / tg ⁡ θ 2 ( T 2 ) ) , assim:

t | | = tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ 2 T | | 2

t ⊥ = tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ 2 T ⊥ 2

Só para deixar registrado, as amplitudes de transmissão são dadas por:

T ⊥ = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

T | | = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Passo 2

Vamos então resolver o item ( a ) , temos o seguinte:

S → = n 2 μ 0 c E → 2

Então para onda no meio 1 , temos:

S → 1 = n 2 μ 0 c E → 1 2

E no meio 2 temos o seguinte:

S → 2 = n 2 μ 0 c E → 2 2

Vamos substituir isso na expressão do enunciado, temos:

t = n 2 2 μ 0 c E → 2 2 cos ⁡ θ 2 n 1 2 μ 0 c E → 1 2 cos ⁡ θ 1

= n 2 E → 2 2 cos ⁡ θ 2 n 1 E → 1 2 cos ⁡ θ 1

Agora como temos a passagem de um meio para o outro com índices de refração diferentes, podemos aplicar a lei de Snell dada por:

n 1 sen ⁡ θ 1 = n 2 sen ⁡ θ 2

Onde temos que:

n = n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Substituindo isso na expressão que temos, ficamos com:

t = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 E → 2 2 cos ⁡ θ 2 E → 1 2 cos ⁡ θ 1

= sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 E → 2 2 E → 1 2

Lembrando da definição de tangente, temos:

t = tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ 2 E → 2 2 E → 1 2

Chegamos no que tínhamos no enunciado.

Passo 3

Agora vamos encontrar o que o item ( b ) pede. Primeiro vamos encontrar t | | , temos:

t | | = tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ 2 T | | 2

= sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) 2

Então temos que:

⇒ t | | = sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 4 cos 2 ⁡ θ 1 sen 2 ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos 2 ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

= 4 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos 2 ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Usando o fato de que:

sen ⁡ 2 a sen ⁡ 2 b = 4 sen ⁡ a cos ⁡ a sen ⁡ b cos ⁡ b

Então temos que:

t | | = 4 sen ⁡ 2 θ 1 sen ⁡ 2 θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos 2 ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Passo 4

Agora por último vamos encontrar t ⊥ , temos:

t ⊥ = tg ⁡ θ 1 tg ⁡ θ 2 T ⊥ 2

= sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) 2

Então temos que:

⇒ t ⊥ = sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 4 cos 2 ⁡ θ 1 sen 2 ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

= 4 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Usando o fato de que:

sen ⁡ 2 a sen ⁡ 2 b = 4 sen ⁡ a cos ⁡ a sen ⁡ b cos ⁡ b

Então temos que:

t ⊥ = 4 sen ⁡ 2 θ 1 sen ⁡ 2 θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Passo 5

Agora para encontrar o valor de t | | e t ⊥ para θ 1 = θ 2 = 0 vamos fazer as mesmas contas anteriormente só que agora usando as seguintes expressões para T | | e T ⊥ .

T | |   = 2 cos ⁡ θ 1 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

T ⊥ = 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2

Assim temos que:

t | | = sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 4 cos 2 ⁡ θ 1 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 2

= sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 4 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 2

E que

t ⊥ = sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 4 cos 2 ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2 2

= sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 4 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2 2

Usando o fato de que pela lei de Snell temos que:

n = n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Ficamos com o seguinte:

t | | = 4 n cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 2

t ⊥ = 4 n cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2 2

Fazendo θ 1 = θ 2 = 0 , temos:

t | | = t ⊥ = 4 n 1 + n 2

Resposta

( a )

Demonstrado acima.

( b )

t | | = 4 sen ⁡ 2 θ 1 sen ⁡ 2 θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos 2 ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

t ⊥ = 4 sen ⁡ 2 θ 1 sen ⁡ 2 θ 2 sen 2 ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Para θ 1 = θ 2 = 0 , temos:

t | | = t ⊥ = 4 n 1 + n 2

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