14. Conforme a Seç. 4.12 , Eq. ( 4.95 ) , a amplitude transmitida por um holograma de onda plana é proporcional a cos 2 ⁡ ( k sen ⁡ θ   x ' ) . Mostre que, para uma rede de difração com esse perfil de “fendas”, só se formam os máximos principais m = 0 ,   m = ± 1 , para a onda incidente de referência, conforme foi afirmado após a ( 4.99 ) .

Passo 1

Vamos juntos para cima dessa questão.

Para mostrar o que o enunciado pede, vamos trabalhar com a amplitude transmitida quando iluminamos essa rede pela onda de referência (de forma análoga ao que o livro fez na página 133 ).

Essa amplitude transmitida é dada pela onda incidente (nesse caso a onda de referência ( v R ) ) multiplicada pela transmissão da amplitude T , onde temos que:

T ( x ' ) = T - + K I ( x ' )

Onde T - é a transmissão média do holograma e K é uma constante.

Podemos ignorar o termo T - , e assim temos que a amplitude transmitida é dada por:

v x ' = K v R I ( x ' )

Então vamos calcular I ( x ' ) , lembrando que:

I x ' = v 0 x ' + v R ( x ' ) 2

Usando as definições de v 0 ( x ' ) e v R ( x ' ) dadas na equação 4.94 .

v 0 x ' = A e i k x ' sen ⁡ θ

v R x ' = A e - i k x ' sen ⁡ θ

Passo 2

Vamos então calcular esse I ( x ' ) , temos:

I x ' = v 0 x ' + v R ( x ' ) 2

= v 0 * v 0 + v R * v R + v 0 * v R + v R * v 0

Usando o que sabemos temos o seguinte:

I x ' = A e - i k x ' sen ⁡ θ A e i k x ' sen ⁡ θ + A e i k x ' sen ⁡ θ A e - i k x ' sen ⁡ θ + A e - i k x ' sen ⁡ θ A e - i k x ' sen ⁡ θ +

+ A e i k x ' sen ⁡ θ A e i k x ' sen ⁡ θ

Simplificando isso temos o seguinte:

I x ' = A 2 + A 2 + A 2 e - 2 i k x ' sen ⁡ θ + A 2 e 2 i k x ' sen ⁡ θ

= 2 A 2 + A 2 e - 2 i k x ' sen ⁡ θ + A 2 e 2 i k x ' sen ⁡ θ

Passo 3

Agora vamos pegar o que encontramos para I ( x ' ) e encontrar a amplitude transmitida, temos:

v x ' = K v R I ( x ' )

⇒ v x ' = K A e - i k x ' sen ⁡ θ 2 A 2 + A 2 e - 2 i k x ' sen ⁡ θ + A 2 e 2 i k x ' sen ⁡ θ

= 2 K A 2 A e - i k x ' sen ⁡ θ + K A 2 A e - 3 i k x ' sen ⁡ θ + K A 2 A e i k x ' sen ⁡ θ

Agora vamos analisar isso o que encontramos, de cara podemos ver que a amplitude transmitida é composta por três ondas e sabendo que:

v 0 x ' = A e i k x ' sen ⁡ θ

v R x ' = A e - i k x ' sen ⁡ θ

Podemos ver que o primeiro termo se propaga na mesma direção que v R ( x ' ) , logo corresponde ao modo m = 1 . (Veja a figura 4.41 do livro).

O terceiro termo se propaga na mesma direção que v 0 ( x ' ) , logo corresponde ao modo m = 0 . (Veja a figura 4.41 do livro).

O segundo termo se propaga em uma outra direção que não atrapalha no processo e ela corresponde a m = - 1 .

Então como pode ser visto a amplitude transmitida provem de três ondas que corresponde aos modos m = 0 ,   ± 1 . Portanto só esses máximos principais se formam.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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