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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 10

10. Calcule R ⊥ e R ∥ , definidos pelas ( 5.69 ) , inclusive no caso particular θ 1 = 0 . Calcule T ⊥ e T ∥ .

Passo 1

E aí? Vamos mostrar nosso jeito ninja de ser para esse problema?

Esse problema é pura continha, o que mais vamos fazer nele é conta e para isso vamos precisar de algumas equações fornecidas pelo livro.

Vamos precisar das equações 5.69 dadas por:

R ⊥ = A 1 ' A 1           ,           R | |   = B 1 ' B 1

T ⊥ = A 2 A 1           ,           T | |   = B 2 B 1

Vamos precisar também das equações 5.65 e 5.66 , dadas por:

A 1 + A 1 ' = A 2

A 1 - A 1 ' = n cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 A 2

E

B 1 + B 1 ' = n B 2

B 1 - B 1 ' = cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 B 2

Onde temos que n = n 12 e aí que vem o ponto chave para conseguirmos chegar nos resultados que esperamos, que é o fato de que

n 12 = n 2 n 1

Que são os índices de refração da lei de Snell dada por:

n 1 sen ⁡ θ 1 = n 2 sen ⁡ θ 2

⇒ n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Agora vamos por partes pois temos muita coisa para a gente fazer. Primeiro vamos encontrar A 1 ,   A 1 ' , B 1 e B 1 ' .

E depois partimos para o encontro das amplitudes de reflexão e transmissão.

Passo 2

Vamos lá, sabemos o seguinte:

A 1 + A 1 ' = A 2

A 1 - A 1 ' = n cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 A 2

Se somarmos essas duas equações, temos que:

2 A 1 = A 2 + n cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 A 2

⇒ A 1 = A 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

Agora vamos subtrair a segunda da primeira equação, assim temos:

2 A 1 ' = A 2 - n cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 A 2

⇒ A 1 ' = A 2 cos ⁡ θ 1 - n cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

Agora vamos fazer o mesmo processo para achar B 1 e B 1 ' , temos o seguinte:

B 1 + B 1 ' = n B 2

B 1 - B 1 ' = cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 B 2

Somando as equações, temos:

2 B 1 = n B 2 + cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 B 2

⇒ B 1 = B 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

Subtraindo a segunda da primeira, temos:

2 B 1 ' = n B 2 - cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 B 2

⇒ B 1 ' = B 2 n cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

Agora temos tudo que precisamos vamos achar cada amplitude em um passo diferente para não ter confusão.

Passo 3

Primeiro vamos encontrar R ⊥ .

Temos o seguinte:

R ⊥ = A 1 ' A 1

Substituindo pelo o que sabemos, temos:

R ⊥ = A 2 cos ⁡ θ 1 - n cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1 A 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

= cos ⁡ θ 1 - n cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2

Agora vamos usar o fato de que

n = n 12 = n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Assim temos o seguinte:

R ⊥ = cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

= sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

= sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Nada impede de fazermos a seguinte mudança

R ⊥ = - ( sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 ) sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Usando as seguintes identidades trigonométricas.

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

sen ⁡ ( a - b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b - sen ⁡ b cos ⁡ a

Vamos ficar com o seguinte:

R ⊥ = - sen ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Passo 4

Agora vamos encontrar R | | , temos o seguinte:

R | |   = B 1 ' B 1

Substituindo pelo o que sabemos, temos:

R | | = B 2 n cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1 B 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

= n cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Agora vamos usar o fato de que

n = n 12 = n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Assim temos o seguinte:

R | | = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

= sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

= sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Usando as seguintes identidades trigonométricas.

sen ⁡ a cos ⁡ a + sen ⁡ b cos ⁡ b   = sen ⁡ ( a + b ) cos ⁡ ( a - b )

sen ⁡ a cos ⁡ a - sen ⁡ b cos ⁡ b   = sen ⁡ ( a - b ) cos ⁡ ( a + b )

Assim ficamos com:

R | | = sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 - sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

= sen ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Simplificando mais um pouco temos:

R | | = tg ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) tg ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Passo 5

Agora vamos ver para o caso em que θ 1 = θ 2 = 0 , vamos pegar as seguintes expressões:

R | | = n cos ⁡ θ 1 - cos ⁡ θ 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

R ⊥ = cos ⁡ θ 1 - n cos ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2

Fazendo θ 1 = 0 , teremos:

R | | = n - 1 n + 1

R ⊥ = 1 - n 1 + n

Passo 6

Agora vamos encontrar T ⊥ , não desiste não estamos quase terminando, temos o seguinte:

T ⊥ = A 2 A 1

Substituindo pelo o que sabemos, temos:

T ⊥ = A 2 A 2 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

= 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + n cos ⁡ θ 2

Agora vamos usar o fato de que

n = n 12 = n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Assim temos o seguinte:

T ⊥ = 2 cos ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

= 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

= 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 2

Usando a seguinte identidade trigonométrica.

sen ⁡ ( a + b ) = sen ⁡ a cos ⁡ b + sen ⁡ b cos ⁡ a

Assim ficamos com:

T ⊥ = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Passo 7

Agora finalmente por último vamos encontrar T | | .

T | |   = B 2 B 1

Substituindo pelo o que sabemos, temos:

T | |   = B 2 B 2 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2 2 cos ⁡ θ 1

= 2 cos ⁡ θ 1 n cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

Agora vamos usar o fato de que

n = n 12 = n 2 n 1 = sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2

Assim temos o seguinte:

T | |   = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 1 + cos ⁡ θ 2

= 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 2

= 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ θ 1 cos ⁡ θ 1 + sen ⁡ θ 2 cos ⁡ θ 2

Usando a seguinte identidade trigonométrica.

sen ⁡ a cos ⁡ a + sen ⁡ b cos ⁡ b   = sen ⁡ ( a + b ) cos ⁡ ( a - b )

Assim ficamos com:

T | | = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

Finalmente conseguimos terminar.

Resposta

Amplitudes de reflexão:

R ⊥ = - sen ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

R | | = tg ⁡ ( θ 1 - θ 2 ) tg ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

Para o caso de θ 1 = 0 , temos:

R | | = n - 1 n + 1

R ⊥ = 1 - n 1 + n

Amplitudes de transmissão:

T ⊥ = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 )

T | | = 2 cos ⁡ θ 1 sen ⁡ θ 2 sen ⁡ ( θ 1 + θ 2 ) cos ⁡ ( θ 1 - θ 2 )

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