11.22E Calcule a diferença ∆ g da gravidade da Terra nas duas faces opostas da Lua.

Passo 1

Belezoca galerinha, vimos que a aceleração gravitacional de uma partícula cuja distância do centro de massa da Terra é r , é dada como:

g r = F r m

Onde m é a massa da partícula, e F r é a força gravitacional que a Terra exerce sobre essa mesma partícula, de acordo coma distância r . Sendo assim, podemos expressar a força F r de acordo com a fórmula da Força Gravitacional, tal que:

F r = G M m r 2

Logo a gravidade será:

g r = G M m r 2 m

g r = G M r 2

Passo 2

Iradoso, e como queremos calcular a diferença da gravidade nas faces da Lua, temos que essa distância r , primeiro vai ser a distância do centro da Terra até a superfície da Lua, e depois vai ser a distância do cento da Terra até o ponto diametralmente oposto a superfície visível da Lua:

Mas calma ai chefia, porque saca só, conhecemos a distância do centro da Terra até o centro da Lua:

D = 384   000   000   m

E também conhecemos o raio R da Lua:

R = 1   737   000   m

Portanto, as distâncias r 1 e r 2 do centro da Terra até cada a face da Lua vão ser:

r 1 = D - R ,     r 2 = D + R

Passo 3

Show de bolinhas, então a aceleração que a Terra exerce sobre uma a partícula em cada face da Lua é dada por:

g r 1 = G M D - R 2 ,     g r 2 = G M D + R 2

Então a diferença entre as gravidades é:

∆ g = g r 1 - g r 2

∆ g = G M D - R 2 - G M D + R 2

Colocando G M em evidência, obtemos:

∆ g = G M 1 D - R 2 - 1 D + R 2

∆ g = G M D + R 2 - D - R 2 D - R 2 D + R 2

Logo:

∆ g = G M 4 D R D 2 - R 2 2

Então se a gente substituir os valores que enunciado nos deu, vamos obter que:

∆ g = 6,67 × 10 - 11 5,97 × 10 24 4 384   000   000 1   737   000 384   000   000 2 - 1   737   000 2 2

∆ g ≈ 4,9 × 10 - 5   m/s²

Quase nadinha né, ou seja, a aceleração que a Terra imprime na Lua é quase igual em toda a superfície, até mesmo na parte oposta.

Resposta

∆ g ≈ 4,9 × 10 - 5   m/s²

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