Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 14º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 56
Você está explorando um planeta recém-descoberto. O raio do planeta é de . Você suspende um peso de chumbo preso à ponta inferior de uma corda leve com de extensão e massa de . Você calcula em o tempo necessário para que um pulso transversal se desloque da ponta inferior à ponta superior da corda. Na Terra, para a mesma corda e peso de chumbo, são necessários para que um pulso transversal se desloque pelo comprimento da corda. O peso da corda é pequeno o bastante para que seu efeito sobre a tensão na corda possa ser ignorado. Supondo que a massa do planeta seja distribuída com simetria esférica, qual é sua massa?
Passo 1
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Neste problema, estamos calculando a massa de um planeta medindo o tempo que uma onda viaja em uma corda suspensa por um objeto de chumbo. Para fazer isso, primeiro percebemos que a velocidade da onda é determinada pela tensão da corda, que, em equilíbrio, é igual à força que o objeto de chumbo exerce sobre a corda, que é o seu peso (desconsideramos o peso de a corda). O peso de um objeto é determinado pela força gravitacional que o planeta exerce sobre ele na superfície do planeta, que é dada por:
Onde é a massa do planeta, é o raio dado por: e é a massa do objeto de chumbo.
A velocidade da onda pode ser calculada a partir do tempo que leva para percorrer o comprimento da corda, que é de 4 metros. Na Terra, a velocidade é:
E no planeta desconhecido é:
A velocidade também é dada pela tensão como:
onde a densidade de massa linear da corda, que é a mesma em todos os lugares, é dada como:
Podemos agora obter a tensão da corda na Terra como:
Passo 2
Também sabemos que uma fórmula aproximada para a força gravitacional na superfície da Terra é dada como:
O que significa que a massa do objeto de chumbo é dada como:
A tensão da corda no outro planeta é dada como:
Com a tensão no outro planeta e a massa do objeto de chumbo (que permanece a mesma em todos os lugares), podemos calcular a aceleração gravitacional no outro planeta como:
Finalmente, a massa do planeta é dada como:
E assim acabamos nossa questão, deu tudo certinho aí? 😉 Te vejo na próxima!