116. A aberração esférica faz a imagem de um espelho esférico ficar borrada. Ela ocorre porque os raios paralelos que atingem o espelho em pontos afastados do eixo ótico são focalizados em pontos diferentes do foco produzido pelos raios paralelos paraxiais. Esse problema pode ser minimizado usando-se apenas a seção central do espelho esférico. a ) Mostre que, para um espelho esférico côncavo, o foco se aproxima do vértice à medida que os

raios paralelos se afastam do eixo ótico. (Sugestão: deduza uma expressão analítica para a distância entre o vértice e o foco de um dado raio paralelo ao eixo ótico. Essa expressão deve depender i ) do raio de curvatura R do espelho e i i ) do ângulo de incidência θ compreendido entre a direção do raio incidente e a reta que une o centro do espelho com o ponto de incidência do raio.) b ) Qual é o valor de θ que produz uma variação de 2 % na localização do

foco, em comparação com o foco formado quando θ é aproximadamente igual a zero?

Passo 1

Então galera para começarmos a resolver esse problema vamos montar um diagrama que representa essa situação, assim temos o seguinte:

A parti desse diagrama vamos poder analisar o problema e resolver o item ( a ) .

Para encontrar o que é pedido no item ( b ) como temos porcentagem, podemos expressar isso da seguinte forma:

f 0 - f f 0 = 0,02

Onde temos f 0 como sendo 100 % e a distância focal para θ = 0 .

Passo 2

Agora vamos analisar nosso diagrama, para conseguirmos definir algo ou encontrar igualdades entre os parâmetros e assim encontrar a expressão analítica.

Primeiro vamos aplicar a lei dos senos para o triangulo maior que temos no nosso diagrama, assim temos:

sen ⁡ θ ( R - f ) = sen ⁡ α g

Disso encontramos que:

R - f = g

Agora vamos fazer o seguinte, vamos dividir esse triangulo ao meio cortando R ao meio, assim podemos fazer o seguinte, que

cos ⁡ θ = R / 2 g

Mas como vimos mais acima que R - f = g , assim temos que:

cos ⁡ θ = R / 2 R - f

Com essa expressão podemos isolar f , assim:

R cos ⁡ θ - f cos ⁡ θ = R 2

⇒ f = R - R 2 cos ⁡ θ

⇒ f = R 2 2 - 1 cos ⁡ θ

Pronto, encontramos a expressão analítica com o enunciado queria.

Passo 3

Agora vamos partir para o item ( b ) , temos o seguinte:

f 0 - f f 0 = 0,02

⇒ 1 - f f 0 = 0,02

⇒ f f 0 = 1 - 0,02

Então temos que:

f f 0 = 0,98

Agora se pegarmos a expressão que chegamos e definirmos f 0 = R / 2 que é a distância focal que encontramos para θ = 0 nessa expressão e fizermos f / f 0 , temos o seguinte:

f f 0 = 2 - 1 cos ⁡ θ

Juntando tudo temos que:

2 - 1 cos ⁡ θ = 0,98

⇒ 1 cos ⁡ θ = 1,02

⇒ cos ⁡ θ = 0,98

Então temos que:

θ = 11,48 °

Resposta

( a )

f = R 2 2 - 1 cos ⁡ θ

( b )

θ = 11,48 °

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