12 . Uma esfera de raio r e massa m , sob o efeito da gravidade, rola no interior de uma casca esférica imóvel de raio R . A ) Escreva a lagrangeana do sistema para pequenos deslocamentos da esfera em torno do equilíbrio. B ) Calcule a frequência natural do sistema.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Para escrever a Lagrangeana do sistema temos que saber a energia cinética e potencial desse sistema, já que:

L = T - U

Para descrever o problema vamos usar a coordenada generalizada x , já que uma casca esférica olhando o plano x y é igual uma parábola que tem equação igual a y = 1 2 R x 2 .

Como a esfera descreve um movimento de translação do centro de massa e de rotação ao mesmo tempo, temos que a energia cinética é da seguinte forma:

T = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Nesse caso só temos a energia potencial gravitacional da esfera, que é da seguinte forma:

V = m g y

Onde y é a altura da esfera em relação ao chão, então temos que escrever essas equações em termos da nossa coordena generalizada x .

Para achar a frequência de oscilação dessa esfera, teremos que escrever a equação de Lagrange para a coordenada x e analisar o que temos, a equação de Lagrange é da seguinte forma:

d d t d L d q ˙ - d L d q = 0

Passo 2

Vamos trabalhar com a energia cinética, temos que ela é:

T = 1 2 m v 2 + 1 2 I ω 2

Usando que ω = v r , temos:

T = 1 2 m v 2 + 1 2 I v 2 r 2

O momento de inércia da esfera é dado por:

I = 2 5 m r 2

Então temos que:

T = 1 2 m v 2 + 1 5 m v 2

⇒ T = 7 10 m v 2

Só que a esfera tem deslocamento na direção x e y , logo temos que:

v 2 = x ˙ 2 + y ˙ 2

Mas sabemos que:

y = 1 2 R x 2

Então:

y ˙ = 1 R x x ˙

Logo temos que a energia cinética é:

T = 7 10 m x ˙ 2 + 1 R 2 x 2 x ˙ 2

⇒ T = 7 10 m 1 + 1 R 2 x 2 x ˙ 2

Passo 3

Agora vamos ver a energia potencial, temos que:

V = m g y

Usando o que sabemos para y , temos:

V = 1 2 R m g x 2

Juntando tudo, temos que a nossa lagrangeana é dada por:

L = 7 10 m 1 + 1 R 2 x 2 x ˙ 2 - 1 2 R m g x 2

Mas como queremos a lagrangeana para pequenos deslocamentos da esfera, temos que:

1 ≫ 1 R 2 x 2

Então podemos desconsiderar esse termo, logo:

L = 7 10 m x ˙ 2 - 1 2 R m g x 2

Passo 4

Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.

d d t d L d x ˙ - d L d x = 0

Primeiro vamos calcular d L d x ˙ , temos:

d L d x ˙ = 7 5 m x ˙

Agora vamos calcular d d t d L d x ˙ , então:

d d t d L d x ˙ = 7 5 m x ¨

= 7 5 m x ¨

Agora por último d L d x , temos:

d L d x = - m g R x

Juntando tudo temos:

7 5 m x ¨ + m g R x = 0

⇒ x ¨ + m g 7 5 m R x = 0

⇒ x ¨ + 5 g 7 R x = 0

Isso tem a cara de um oscilador harmônico e a sua frequência angular é dada por:

ω 0 = 5 g 7 R

E usando que ω 0 = 2 π f , temos que a frequência de oscilação é:

f = 1 2 π 5 g 7 R

E com isso terminamos essa questão!

Resposta

A )

L = 7 10 m x ˙ 2 - 1 2 R m g x 2

B )

f = 1 2 π 5 g 7 R

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