12.10. Quatro massas idênticas de 800 kg cada são colocadas nos cantos de um quadrado cujo lado mede 10,0 cm. Qual é a força gravitacional resultante (módulo, direção e sentido) sobre uma das massas em virtude das outras três?

Passo 1

Vamos começar desenhando a situação.

Vamos calcular a do canto superior esquerdo, então as forças estarão assim

Vamos lembrar de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal

6,67408 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2

Passo 2

Agora a gente sabe que a distância entre a massa do canto superior direito e a massa do canto superior esquerdo é a mesma que a distância entre a massa do canto superior esquerdo e o canto inferior esquerdo, 10 centímetros, ou 0,01   m . Então a gente pode calcular essas forças de uma vez só.

F = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 800 2 0,1 2

Então a força é

F = 0 , 00 4271   N

Agora para a distância entre a massa do canto superior esquerdo e a do canto inferior direito, a gente precisa usar um Pitágoras

h = 0,1 2 + 0,1 2 = 0,14   m

Então a força será

F = 6,67408 ⋅ 10 - 11 ⋅ 800 2 0,14 2 = 0 , 00 2179   N

Passo 3

Beleza, então a gente tem isso

Mas a gente precisa calcular o módulo disso. Mas uma sacada aqui facilita as contas, o ângulo da força que age entre a massa superior esquerda e a inferior direta é 45 ° , por que elas são extremos de um quadrado perfeito.

Então

F R = 0 , 00 4271 + 0 , 00 2179 ⋅ cos ⁡ 45 ° i ^ + 0 , 00 4271 + 0 , 00 2179 ⋅ sin ⁡ 45 ° j ^   N

Mas

cos ⁡ 45 ° = sin ⁡ 45 °

Então para calcular o módulo temos

F R = 2 0,004271 + 0,002179 ⋅ cos ⁡ 45 ° 2 = 0 , 00 8 383   N

Logo

Módulo: 0 , 008383   N

Direção: A diagonal que liga o canto superior esquerdo com o inferior direito

Sentido: 45° horário em relação ao eixo x

Pela simetria do problema, a gente consegue ver que todas as massas vão ter uma força resultante de mesmo módulo apontando para o centro do quadrado.

Resposta

Módulo: 0 , 008383   N

Direção: A diagonal que liga o canto superior esquerdo com o inferior direito

Sentido: 45° horário em relação ao eixo x

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