12.21. Usando-se uma balança de Cavendish para a medida da constante gravitacional G, verificou-se que uma esfera uniforme de 0,400 kg atrai outra esfera uniforme de 0,00300 kg com uma força igual a 8,0 ⋅ 10 - 10   N quando a distância entre os centros destas esferas é igual a 0,0100 m. A aceleração da gravidade na superfície da Terra é igual a 9,80 m s 2 , e o raio da Terra é igual a 6380 km. Calcule a massa da Terra usando esses dados.

Passo 1

Vamos lembrar de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal.

O experimento foi feito para descobrir a constante gravitacional, vamos descobrir então. A primeira massa era de 0,4   k g e a segunda de 0,003   k g , estavam a uma distância de 0,01   m , e se atraíram com uma força de 8 ⋅ 10 - 10   N . Então a gente tem tudo para calcular a constante gravitacional, vamos isolar ela na equação.

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

G = F g ⋅ d 2 M ⋅ m

Agora é só substituir os valores

G = 8 ⋅ 10 - 10 ⋅ ( 0,01 ) 2 0,4 ⋅ 0,003 = 6,66 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2

Passo 2

Agora que a gente tem a constante gravitacional, a gente pode usar ela para calcular a massa da Terra. A gente faz isso através da aceleração da gravidade, porque a gente calcula a aceleração da gravidade assim

g = G ⋅ M R 2

A gente sabe tudo isso, o enunciado nos dá a aceleração da gravidade, a gente já calculou a constante gravitacional, o raio da Terra é 6380   k m ou 6380000   m de acordo com o enunciado, agora é só isolar a massa e calcular

M = g ⋅ R 2 G

Substituindo os valores

M = 9,81 ⋅ 6380000 2 6,66 ⋅ 10 - 11 = 6,0 ⋅ 10 24   k g

Resposta

M = 6,0 ⋅ 10 24   k g

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