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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 17

12.17. Titânia, a maior lua do planeta Urano, possui um raio igual a 1/8 do raio da Terra e massa igual a 1/1700 da massa da Terra.

a) Qual é a aceleração da gravidade na superfície de Titânia?

b) Qual é a densidade média de Titânia? (Esse calor é menor do que a densidade média das rochas, uma evidência em favor da hipótese de que Titânia seja basicamente constituída por gelo.)

Passo 1

Legal, o enunciado nos dá algumas informações importantes, o raio de Titânia é 1 8 do raio da Terra, logo

R L R T = 1 8

(Eu vou usar o índice “L”, para me referir a lua Titânia)

E a outra informação que a gente sabe é que a massa de Titânia é 1 1700 da massa da Terra, ou seja

M L M T = 1 1700

A gente também precisa saber como se calcula a gravidade de um planeta

g = G ⋅ M R 2

Sendo G a constante gravitacional, que é

6,67408 ⋅ 10 - 11 m 3 k g ⋅ s 2

Passo 2

Beleza, agora é só calcular a aceleração da gravidade

g L = G ⋅ M L R L 2

Mas agora a gente tem que fazer uma jogadinha matemática, a gente vai multiplicar por 1 essa equação, quer dizer, a gente vai multiplicar por M T M T ⋅ R T R T 2 , que é a mesma coisa que 1

g L = G ⋅ M L R L 2 ⋅ M T M T ⋅ R T R T 2

Agora a gente pode organizar assim

g L = G ⋅ M T R T 2 ⋅ M L M T ⋅ R T R L 2

Ou seja

g L = g T ⋅ M L M T ⋅ R T R L 2

Já que

g T = G ⋅ M T R T 2 = 9,81 m s 2

E como a gente já tem o valor de M L M T e R L R T , é só substituir. Lembrando que R T R L = 1 R L R T

Então

g L = 9,81 ⋅ 1 1700 ⋅ 8 2

Agora é só fazer essa conta e a gente tem

g L = 0,369 m s 2

E essa é a resposta do item (a)

Passo 3

Agora a gente tem que responder o item (b). Temos que calcular a densidade média da lua Titânia. Sabemos que

ρ = m V

Mas a gente não tem nem a massa e nem o volume da lua ☹. Mas a gente tem da Terra, estão no Apêndice do livro. Vamos usá-los, para isso vamos fazer o seguinte

ρ L ρ T = M L V L ⋅ V T M T

Bem a gente pode aproximar tudo para uma esfera, assim a gente pode calcular o volume

V = 4 3 ⋅ π ⋅ r 3

Então

ρ L ρ T = M L 4 3 ⋅ π ⋅ R L 3 ⋅ 4 3 ⋅ π ⋅ R T 3 M T

Bem, a gente pode cortar 4 3 ⋅ π

ρ L ρ T = M L R L 3 ⋅ R T 3 M T

Vamos reorganizar a equação

ρ L ρ T = M L M T ⋅ R T 3 R L 3

Agora é só fazer mais ou menos o que a gente fez no item (a) para substituir os valores.

ρ L ρ T = 1 1700 ⋅ 8 3 = 0,3

Então

ρ L = 0,3 ⋅ ρ T

A densidade da lua Titânia é 30% da densidade da Terra. Ainda precisamos calcular a densidade da Terra para ter a resposta.

ρ T = M T V T

ρ T = M T 4 3 ⋅ π ⋅ R T 3

Agora substituindo os valores

ρ T = 5,97 ⋅ 10 24 4 3 ⋅ π ⋅ 6,38 ⋅ 10 6 3 = 5488,12 k g m 3

Então

ρ L = 0,3 ⋅ 5488,12 = 1646,43 k g m 3 ≈ 1,7 ⋅ 10 3 k g m 3

Resposta

  1. g L = 0,37 m s 2
  2. ρ L = 1,7 ⋅ 10 3 k g m 3
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