12.17P A mesma esfera descrita no Problema 12.16 submerge em óleo SAE 30 à temperatura de 20 °   C , cuja densidade é aproximadamente igual á da água. A) Calcule a velocidade terminal da esfera. B) Calcule o número de Reynolds correspondente á velocidade terminal.

Passo 1

Show de bola pessoal, nesse caso, temos que o óleo SAE 30 possui uma alta viscosidade, de forma que precisamos tratar esse caso com outra equação. Dessa maneira, a força de atrito, devido a viscosidade η do fluido, pode ser expressa como:

F η = 3 π D η v T

Logo, igualando a força de atrito com a força da gravidade, obtemos:

F G = F η

m g = 3 π D η v T

De forma que a massa da esfera pode ser medida da mesma maneira que fizemos no exercício anterior, tal que:

m = V ρ

m = 4 3 π R 3 ρ  

Mas como R = D / 2 , temos que:

m = 4 3 π D 2 3 ρ  

m = π 6 D 3 ρ

Sendo assim, a igualdades das forças se torna:

π 6 D 3 ρ g = 3 π D η v T

Passo 2

Iradoso, então se a gente isolar a velocidade nessa expressão ai, vamos obter que:

v T = ρ D 2 18 η g

Dessa forma, a velocidade final no óleo SAE 30, dado que sua densidade é ρ = 8,7 × 10 3   kg/m³ e sua viscosidade é η = 0,41   Ns/m² , pode ser aproximada como:

v T = 8,7 × 10 3 - 2,7 × 10 3 0,005 2 18 ( 0,41 ) g

v T = 0,2   m/s

Passo 3

Belejóia, agora para calcular o número de Reynolds, usamos a fórmula:

Re = ρ L η v

Onde η é a viscosidade da água dada por η = 0,41   Ns/m² , enquanto L é a dimensão típica de uma esfera dada pelo seu diâmetro L = 0,005   m . Sendo assim, o número de Reynolds será:

Re = 8,7 × 10 3 0,005 0,41 0 , 2

Re ≈ 21

Logo, como Re < 100 , é aceitável usarmos o atrito viscoso.

Resposta

  1. v T = 0,2   m/s
  2. Re ≈ 21
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