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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 12.Exercícios e Problemas - Ex. 19

12.19P Uma esfera de massa m e raio R cai no ar, cuja viscosidade é η , sob o efeito da gravidade. O número de Reynolds relativo a seu movimento é sempre menos do que 1 . Sendo nula a velocidade da esfera em t = 0 , calcule a função v t que exprime a variação da velocidade da esfera com o tempo.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, vimos que o número de Reynolds é sempre menor que 1 durante a queda, sendo assim podemos desprezar a inércia, e levar em conta somente o atrito da viscosidade do fluido, dado por:

F η = 3 π D η v

E esse atrito, vai se opor a força peso que está atuando sobre a esfera de forma a “puxar ela para baixo”, sendo assim, durante toda a queda teremos uma força resultante tal que:

F R = F G - F η

F R = m g - 3 π D η v

Só que de acordo com a segunda Lei de Newton, toda força pode ser expressa pelo produto da massa pela aceleração, tal que:

m a = m g - 3 π D η v

a = g - 3 π D η m v

Passo 2

Mas pera ai chefia, porque agora a brincadeira começou a ficar legal, afinal temos que a aceleração a e a velocidade v estão relacionadas através da equação linear:

a = g - 3 π D η m v

E se a gente lembrar que a aceleração a é a derivada da velocidade, a = v ' , teremos que:

v ' = g - 3 π D η m v

Ou seja, obtemos uma equação linear de primeira ordem, e agora podemos lembrar lá das aulinhas de cálculo que nos ensinaram a modelar esse tipo de equação para encontrar a velocidade v (t)  como solução dessa expressão. Fazendo isso, vamos obter que:

v ' = g - 3 π D η m v

1 g - 3 π D η m v v ' = 1

E pra ficar mais fácil os cálculos, vamos chamar 3 π D η m = b , tal que:

1 g - b v v ' = 1

Logo, se a gente integrar essa função em relação ao tempo t , vamos obter que:

∫ 1 g - b v v ' = ∫ 1   d t

- 1 b ln ⁡ g - b v = t + C

Passo 3

Agora se a gente isolar a velocidade v , vamos ter que:

1 b ln ⁡ g - b v = - t - C

ln ⁡ g - b v = - b t + C

g - b v = e - b t + C

Logo:

b v = g - e - b t + C

v (t) = 1 b g - e - b t + C

Mas calma ai chefia, porque o enunciado continua nos dizendo que no tempo t = 0 , a velocidade é v 0 = 0 , logo:

v 0 = 1 b g - e - b 0 + C = 0

Tal que podemos isolar o C :

1 b g - e - b C = 0

e - b C = g

Logo:

C = - 1 b ln ⁡ g

Sendo assim, nossa solução para a velocidade v será:

v (t) = 1 b g - e - b t + - 1 b ln ⁡ g

v (t) = 1 b g - e - b t - 1 b ln ⁡ g

v (t) = 1 b g - e ln ⁡ g - b t

E dando mais uma leve arrumadinha:

v (t) = 1 b g - e ln ⁡ g e - b t

v (t) = 1 b g - g e - b t

v (t) = g b 1 - e - b t

E se a gente lembrar que 3 π D η m = b , vamos obter que a velocidade em função do tempo será expressa pela equação:

v (t) = g m 3 π D η 1 - e - 3 π D η m t

Passo 4

E agora, a parte mais bonita dessa equação é que a velocidade terminal que a esfera atinge, é aquela de valor máximo que a esfera atinge durante a queda, então se ela cair indefinidamente, por um tempo digamos infinito, deveremos alcançar essa tal velocidade terminal. Ou seja, pra equação que a gente encontrou estra certa, quando o tempo tender a infinito, a velocidade deverá ser igual a terminal, dada por:

v T = m g 3 π D η

Então se a gente aplicar o limite do tempo no infinito, vamos obter que:

lim t → ∞ ⁡ v (t)

lim t → ∞ ⁡ g m 3 π D η 1 - e - 3 π D η m t

g m 3 π D η lim t → ∞ ⁡ 1 - e - 3 π D η m t

Tal que:

g m 3 π D η lim t → ∞ ⁡ 1 - lim t → ∞ ⁡ e - 3 π D η m t

E como lim t → ∞ ⁡ e - 3 π D η m t = 0 , teremos que:

lim t → ∞ ⁡ v (t) = g m 3 π D η 1 - 0

lim t → ∞ ⁡ v (t) = g m 3 π D η

EXATAMENTE IGUAL a velocidade terminal que a gente encontrou por outros métodos. ISSO É MUITO BONITO DE SE VER!!!

Resposta

v (t) = g m 3 π D η 1 - e - 3 π D η m t

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