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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 24

12.24. Massa de um cometa. Em 4 de julho de 2005, a espaçonave Deep Impact da NASA lançou um projetil sobre a superfície do Cometa Tempel 1. Esse cometa tem um diâmetro de cerca de 9,0 km. Observações dos fragmentos provocados pelo impacto na superfície revelaram a liberação de poeira do cometa com uma velocidade bastante reduzida, de cerca de 10 m/s. (a) Supondo uma forma esférica, qual é a massa desse cometa? (Sugestão: Veja o exemplo 12.5 na Seção 12.3)(b) A que distância do centro do cometa estará um fragmento quando houver perdido (i) 90,0 % de sua energia cinética inicial na superfície; e (ii) toda a energia cinética que possuía na superfície?

Passo 1

O exemplo 12.5 do livro calcular a velocidade de escape da Terra. Para isso eles usam a preposição que a maior distância que o projétil pode atingir é r = ∞ , e nesse ponto K = 0 porque v = 0 e K = m v 2 2 . Adotando a constante de energia como 0. Temos

K 1 + U 1 = K 2 + U 2

A energia potencial gravitacional pode ser calculada como

U = - G ⋅ M ⋅ m R

Então

m v 1 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m R = m v 2 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m d

O lado esquerdo da equação é para quando o projétil está na superfície da Terra, e o lado direito é quando ele atinge r = ∞ , então

m v 1 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m R = m 0 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m ∞

Então

m v 1 2 2 + - G ⋅ M ⋅ m R = 0

Agora a gente pode descobrir a velocidade de escape

m v e 2 2 = G ⋅ M ⋅ m R

A gente pode cortar m . Agora isolando a velocidade

v e = 2 ⋅ G ⋅ M R

Passo 2

A gente sabe que a velocidade de escape do cometa é 10 m s , e também sabemos o diâmetro do cometa, logo a gente sabe o raio. Vamos isolar a massa do cometa agora.

v e 2 = 2 ⋅ G ⋅ M R

M = R ⋅ v e 2 2 ⋅ G

Agora é só substituir os valores, e temos a massa do cometa, resposta do item (a)

M = 9 000 2 ⋅ 10 2 2 ⋅ 6,6742 ⋅ 10 - 11

Fazendo essa conta

M = 3,37 ⋅ 10 15   k g

Passo 3

Agora vamos para o item (b). Na parte (i) a gente quer saber a que distância do centro do cometa estará um fragmento quando perder 90% da sua energia cinética inicial. Vamos fazer então

U 1 + K 1 = U 2 + 0,1 K 1

Ou seja

- G M m r 1 + m v 1 2 2 = - G M m r 2 + 0,1 m v 1 2 2

A gente tem que descobrir r 2 , vamos isolar

G M 1 r 2 - 1 r 1 = 0,1 v 1 2 2 - v 1 2 2

1 r 2 - 1 r 1 = v 1 2 2 G M 0,1 - 1

Agora finalmente

1 r 2 = 1 r 1 - 0,9 v 1 2 2 G M

Agora é só inverter

r 2 = 1 1 r 1 - 0,9 v 1 2 2 G M

Agora é só substituir os valores

r 2 = 1 1 9000 2 - 0,9 10 2 2 6.6742 ⋅ 10 - 11 3.37 ⋅ 10 15

Fazendo essa continha

r 2 = 4,5 ⋅ 10 4   m

Passo 4

Agora vamos para o item (b). Na parte (ii) queremos saber onde estará o fragmento quando perder toda a sua energia cinética.

U 1 + K 1 = U 2

Ou seja

- G M m r 1 + m v 1 2 2 = - G M m r 2

A gente tem que descobrir r 2 , vamos isolar

G M 1 r 2 - 1 r 1 = - v 1 2 2

1 r 2 - 1 r 1 = - v 1 2 2 G M

Agora finalmente

1 r 2 = 1 r 1 - v 1 2 2 G M

Agora é só inverter

r 2 = 1 1 r 1 - v 1 2 2 G M

Vamos analisar um pouquinho essa equação. A gente sabe que a velocidade inicial é igual a velocidade de escape, e sabemos que a velocidade de escape se calcula assim

v e = 2 G M r 1

Dentro da equação a gente tem a expressão

1 r 1 - v 1 2 2 G M

A gente sabe que

v 1 = v e

Então

1 r 1 - 2 G M r 1 2 G M

Isso vai dar

1 r 1 - 1 r 1 = 0

Então a gente ia ter uma divisão por 0 na conta, e isso é uma inconsistência. Mas nesse caso a gente pode pensar fisicamente, quanto mais se aproximar de 0 o denominador da fração, maior a distância que o fragmento vai estar do centro da terra, então quando

1 r 1 - v 1 2 2 G M → 0

r 2 → ∞

Logo quando a energia cinética acaba, a distância é o infinito.

Resposta

  1. 3.37 ⋅ 10 15   k g
  2. (i) 4.5 ⋅ 10 4   m

(ii) ∞

Ver Outros Exercícios desse livro

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