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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 11.1 - Ex. 102

Uma antiga questão em ciência planetária é se cada um dos anéis de Saturno é sólido ou composto de pedaços, cada um em sua própria órbita. A questão pode ser resolvida por uma observação em que os astrônomos possam medir a rapidez das partes internas e externas do anel. Se a parte interna do anel se move mais lentamente que a parte externa, então o anel será sólido; se ocorrer o oposto, então ele será na verdade composto de partes separadas. Vejamos como isto se conclui a partir de uma visão teórica. Sejam Δ r a largura radial de um dado anel (existem muitos), R a distância média do anel ao centro de Saturno e v m é d a rapidez média do anel. (a) Se o anel é sólido, mostre que a diferença de rapidez entre as partes externas do anel e interna, Δ v , é dada pela expressão Δ v = v e x t - v i n t   ≈ v m é d Δ r R . Aqui, v e x t é a rapidez da parte mais externa e v i n t é a rapidez da parte mais interna. (b) Se, por outro lado, o anel é composto por muitos pedaços, mostre que Δ v = - 1 2 v m é d Δ r R . (suponha Δ r ≪ R . )

Passo 1

(a) Esse item pode te assustar, mas calma. Primeiro vamos expressar o que ele nos pede.

Δ v = v e x t - v i n t

Como ele quer que a gente mostre uma relação com raio, vamos fazer o seguinte: Como R é a distância média do anel ao centro de Saturno, temos:

v e x t = ω R e x t = ω R + 1 2 Δ r

Analogamente:

v i n t = ω R i n t = ω R - 1 2 Δ r

Portanto,

Δ v = v e x t - v i n t = ω R + 1 2 Δ r - ω R - 1 2 Δ r

Δ v = ω Δ r = ω R ⋅ Δ r R = v m é d Δ r R

Passo 2

Esse item (b) é um pouco mais complicado!

Vamos considerar que todos os pedaços ficam orbitando ao redor do centro de Saturno. Considere tamebm que temos um pedaço de massa m a uma distancia R ' de saturno, cuja massa será M . Logo,

G M m R ' 2 = m v 2 R '

Assim,

v = G M R '

Agora vamos fazer uma coisa parecida com a do item (a).

Para os pedaços mais internos ( R ' = R - 1 2 Δ r ) :

v i n t = G M R - 1 2 Δ r

Para os pedaços mais externos ( R ' = R + 1 2 Δ r ) :

v e x t = G M R + 1 2 Δ r

Passo 3

Para o Δ v :

Δ v = v e x t - v i n t = G M R + 1 2 Δ r - G M R - 1 2 Δ r

Logo,

Δ v ≈ G M R 1 1 + 1 2 Δ r R - 1 1 - 1 2 Δ r R  

Isto é,

Δ v ≈ G M R 1 + 1 2 Δ r R - 1 2 - 1 - 1 2 Δ r R - 1 2

Como Δ r ≪ R :

Se liga: 1 + x n ≈ 1 + n x , quando x ≪ 1

Usando essa dica que eu te dei aqui em cima, temos: Δ v ≈ G M R 1 - 1 4 Δ r R - 1 + 1 4 Δ r R = - 1 2 Δ r R G M R

Portanto,

Δ v ≈ 1 2 Δ r R v m é d

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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