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Enunciado

Física - Curso de Física Básica - Mecânica Volume 1 - 5ª Edição - Herch Moysés Nussenzveig- Ed: 5º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 15

Calcule a energia potencial gravitacional total associada a uma esfera homogênea de raio R e massa M . Sugestão: imagine a esfera como sendo construída por agragação de camadas sucessivas, como cascas de cebola. Considere a variação de energia potencial quando uma camada de espessura d r infinitésima é agregada a uma esfera de raio r , e integre sobre r .

Passo 1

Aqui nessa questão vai ser um pouquinho diferente do normal! A gente vai fazer as contas considerando um pequeno elemento de massa da casca de cebola a uma distância r do centro. Lembra do seguinte: o volume de uma casca esférica de área superficial 4 π r 2 e espessura d r .

d m = 4 π σ r 2 d r

Essa densidade de massa é igual à massa total pelo volume da esfera:

σ = M 4 3 π R 3 = 3 M 4 π R 3

Então d m vai ficar:

d m = 4 π 3 M 4 π R 3 r 2 d r

d m = 3 M r 2 R 3 d r

Passo 2

A gente calcula a energia potencial de cada partezinha como:

ϕ = - G m r

Mas a gente pode relacionar a massa da casca da cebola com a massa da cebola inteira pelo raio!

m r 3 = M R 3

m r = M r 2 R 3

Substituindo na potencial:

ϕ = - G M r 2 R 3

Passo 3

Mas a energia potencial a gente encontra integrando o ϕ com a massa!

d U = ϕ d m

U = ∫ 0 R - G M r 2 R 3 d m

U = ∫ 0 R - G M r 2 R 3 ⋅ 3 M r 2 R 3 d r

U = - 3 G M 2 R 6 ∫ 0 R r 4 d r

U = - 3 G M 2 R 6 ⋅ r 5 5 0 R

U = - 3 G M 2 5 R

Resposta

U = - 3 G M 2 5 R

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