12.3. A que distância de uma pequena esfera de 100 kg uma partícula teria de ser colocada para que a esfera atraísse a partícula com a mesma força que a Terra? Esse experimento poderia ser efetivamente realizado? Por quê?

Passo 1

Vamos começar lembrando de como se calcular a força de atração gravitacional

F g = G ⋅ M ⋅ m d 2

Onde M e m são as massas, d é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e G é a constante gravitacional universal

G = 6,67 ⋅ 10 - 11   N ⋅ m 2 k g 2

Passo 2

Vamos começar calculando a força que a Terra exerce na partícula, vamos imaginar que a partícula está na superfície da Terra, então a distância entre as massas é igual ao raio da Terra

F T = G ⋅ M T ⋅ m R 2

F T = G ⋅ 5,972 ⋅ 10 24 ⋅ m ( 6,371 ⋅ 10 6 ) 2

F T = G ⋅ m ⋅ 5,972 ⋅ 10 24 40,59 ⋅ 10 12 = G ⋅ m ⋅ 1,47 ⋅ 10 11   N

Passo 3

Agora a gente iguala isso a força exercida pela esfera

F T = F E

G ⋅ m ⋅ 1,47 ⋅ 10 11 = G ⋅ 100 ⋅ m d 2

Olha que coisa boa, a gente pode cortar a massa da partícula e a constante G

1,47 ⋅ 10 11 = 100 d 2

Agora a gente só tem uma incógnita, que é justamente o que queremos saber, a distância, vamos isolar

d = 100 1,47 ⋅ 10 11 = 2,6 ⋅ 10 - 5 m

Ou seja

0,026   m m

Passo 4

Bom, seria muito difícil fazer esse experimento. Um objeto com a massa de 100 kg que tem que ter um tamanho pequeno o suficiente para ficar a uma distância de 0,026   m m é bem complicado de achar, o objeto tinha que ser extremamente denso.

Resposta

0,026   m m

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