Enunciado

(a) Calcule o vetor campo gravitacional em um ponto P sobre a mediatriz da linha que une os dois corpos de massa igual, separados por uma distância de 2 a , como mostrado na Figura P11.12. (b) Explique fisicamente por que o campo deve tender a zero quando   r     0 . (c) Prove matematicamente que a resposta ao item (a) se comporta dessa maneira. (d) Explique fisicamente por que o módulo do campo deve se aproximar de 2 G M / r 2 quando r     ∞ . (e) Prove matematicamente que a resposta ao item (a) se comporta corretamente nesse limite.

Passo 1

E aiii gente, tudo bem com vocês?

Vamos fazer uma questãozinha aqui?

Vem comigo!

Letra a:

g 1 = g 2 = M G r 2 + a 2 g 1 y = - g 2 y g y = g 1 y + g 2 y = 0 g 1 x = g 2 x = g 2 c o s ⁡ θ

c o s ⁡ θ = r a 2 + r 2 1 2 g → = 2 g 2 x ( - i ^ )

g → = 2 M G r r 2 + a 2 3 2   e m   d i r e ç ã o   a o   c e n t r o   d e   m a s s a

Passo 2

Letra b:

Em r = 0, os campos dos dois objetos são iguais em magnitude e opostas na direção, para somar a zero.

Passo 3

Letra c:

Como r → 0

2 M G r r 2 + a 2 - 3 2

2 M G 0 a 3 = 0

Passo 4

Letra d:

Quando r é muito maior do que a, os ângulos que os vetores do campo fazem com o eixo x tornam-se menores. Em distâncias muito grandes, os vetores são quase paralelos ao eixo; portanto, eles começam a se parecer com o vetor de campo de um único objeto de massa 2M.

Passo 5

Letra e:

À medida que r torna-se muito maior do que a, a expressão se aproxima de:

2 M G r r 2 + 0 2 - 3 2 = 2 M G r r 3 = 2 M G r 2

Resposta

  1. g → = 2 M G r r 2 + a 2 3 2   e m   d i r e ç ã o   a o   c e n t r o   d e   m a s s a
  2. Em r = 0, os campos dos dois objetos são iguais em magnitude e opostas na direção, para somar a zero.
  3. 2 M G 0 a 3 = 0
  4. Quando r é muito maior do que a, os ângulos que os vetores do campo fazem com o eixo x tornam-se menores. Em distâncias muito grandes, os vetores são quase paralelos ao eixo; portanto, eles começam a se parecer com o vetor de campo de um único objeto de massa 2M.
  5. 2 M G r r 2 + 0 2 - 3 2 = 2 M G r r 3 = 2 M G r 2
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