12.29. Suponha que a órbita da Terra ao redor do Sol seja circular. Use o raio orbital e o período orbital da Terra fornecidos no Apêndice F para calcular a massa do Sol

Passo 1

Bem, vamos lá, a gente precisa calcular a massa do Sol usando só os dados da órbita da Terra ao redor do Sol. Bom, para isso a gente pode usar a velocidade que a terra gira em torno do Sol.

v = G M r

Mas o problema é que a gente não tem a velocidade ☹. Então a gente fica com mais de uma incógnita para calcular.

A gente pode resolver isso calculando a velocidade. Para isso a gente pode usar o Período, esse sim é dado no exercício

T = 2 π r v

Agora é só isolar a velocidade

v = 2 π r T

Passo 2

Agora que a gente tem a velocidade a gente tem tudo para calcular a massa do sol. A gente só precisa isolar ela na equação.

v = G M r

2 π r T = G M r

Vamos primeiro elevar os dois lados ao quadrado para sumir com a raiz

2 π r T 2 = G M r

Agora é só isolar M

2 π r T 2 ⋅ r G = M

Bom agora a gente tem a equação da massa do Sol, é só ir no Apêndice e substituir os valores. Atenção nas grandezas. O raio da órbita no Apêndice é dado em dias, mas como a gente calcula tudo no SI a gente tem que colocar em segundos. Bom o Período da Terra é 1 ano, ou 365 dias ou ainda melhor 31536000   s

M = 2 π 1,5 ⋅ 10 11 3156000 2 ⋅ 1,5 ⋅ 10 11 6,6742 ⋅ 10 - 11

Agora é só fazer essa continha

M = 2,01 ⋅ 10 23   k g

Resposta

M = 2,01 ⋅ 10 23   k g

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