12.49. Três esferas uniformes estão fixadas nas posições indicadas na Figura 12.36. a) Determine o módulo, a direção e o sentido da força sobre uma partícula de 0,0150 kg situada no ponto P. b) Se essas esferas estivessem nas profundezas do espaço sideral e uma partícula de 0,0150 kg fosse libertada do repouso a 300 m da origem ao longo de uma reta a 45° abaixo do eixo O x , qual seria a velocidade da partícula quando ela atingisse a origem?

Passo 1

Vamos lá, o item (a) pede para gente calcular a força resultante sobre uma partícula no ponto P. Vão existir três forças agindo sobre essa partícula, resultado das três esferas que vão estar interagindo com ela. Então a situação fica assim

A força resultante será

F → = F 1 → + F 2 → + F 3 →

Bom, pela simetria do problema, a gente pode ver que a força resultante terá a mesma direção e sentido que a força de interação entre a partícula e a massa de 2 kg.

Agora só nos resta calcular os módulos.

Passo 2

Podemos calcular o módulo da força gravitacional assim

F = G ⋅ M m r 2

Vamos começar calculando essa força

F 1 = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1 ⋅ 0,015 0,5 2

Isso vai dar

F 1 = 4,0 ⋅ 10 - 12   N

Agora F 2

Repare pela simetria que o módulo é igual ao de F 1

F 1 = F 2

E como lá no primeiro passo a gente já concluiu que a força resultante tem direção e sentido igual a força entre a partícula P e a massa de 2 kg, ou seja 45° (a partir do eixo x ou y), a gente já pode calcular as componentes que vão somar na resultante.

Matematicamente, quero dizer

F → = 2 ⋅ F 1 ⋅ cos ⁡ 45 ° + F 3 →

Então só falta calcular o módulo de F 3

A gente pode achar a distância r através de Pitágoras, já que podemos extrair um triângulo da imagem onde a gente sabe os dois catetos.

Então

r = 2 ⋅ 0,5 2

F 3 = 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 2 ⋅ 0,015 2 ⋅ 0,5 2 2

Fazendo essa conta temos

F 3 = 4,0 ⋅ 10 - 12   N

Olha só

F 1 = F 2 = F 3

Mas o importante mesmo é que finalmente podemos calcular a força resultante

F = 2 ⋅ 4,0 ⋅ 10 - 12 ⋅ cos ⁡ 45 ° + 4,0 ⋅ 10 - 12

Então

F = 9,6 7 ⋅ 10 - 12   N

Passo 3

Bem, agora vamos responder o item (b). Bom o enunciado descreve uma situação assim

E a gente tem que descobrir a que velocidade a partícula passa pelo ponto P.

A gente pode usar o teorema do trabalho e energia cinética para resolver isso

Τ = Δ K

Então

F ⋅ d = m v f 2 2 - m i 2 2

Bom a velocidade inicial é 0 . A gente tem três forças agindo sobre a partícula. Então

G m M 1 r 1 + M 2 r 2 + M 3 r 3 = m v f 2 2

Agora a gente só precisa isolar a velocidade

v 2 = 2 G M 1 r 1 + M 2 r 2 + M 3 r 3

Só passar a raiz

v = 2 G M 1 r 1 + M 2 r 2 + M 3 r 3

Agora é só substituir os valores

v = 2 ⋅ 6,6742 ⋅ 10 - 11 ⋅ 1 0,5 + 1 0,5 + 2 2   0,5

Fazendo essa continha

v = 3,02 ⋅ 10 - 5 m s

Resposta

  1. Módulo: 9,67 ⋅ 10 - 12   N
  2. Direção: Em direção a esfera de 2   k g

    Sentido: Positivo para eixo x e y

  3. v = 3,02 ⋅ 10 - 5 m s
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