Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 58
12.58. a) Os asteroides possuem densidades da ordem de e raios variando de 470 km até menos do que um quilometro. Supondo que o asteroide possua uma distribuição de massa esférica, estime o raio do maior asteroide do qual você poderia escapar simplesmente pulando da superfície dele. (Sugestão: Você pode estimar a velocidade máxima do seu pulo relacionando-a à altura máxima que você atinge quando pula na superfície terrestre.) b) Europa, uma das quatro maiores luas de Júpiter, possui um raio igual a 1570 km. A aceleração da gravidade em sua superfície é igual a . Calcule sua densidade média.
Passo 1
O que a gente pode fazer é usar uma aproximação para deduzir qual maior velocidade que a gente pode atingir em um pulo. Vamos supor que a maior altura do pulo de uma pessoa seja . A gente pode aproximar a velocidade usando energia
Então
Então temos
Então
Isolando a velocidade final
Então
Passo 2
Agora vamos descobrir o maior asteroide do qual nós poderíamos escapar. A velocidade de escape é
Mas a gente pode colocar a massa em função do raio, uma vez que temos a densidade dos asteroides
Como vamos aproximar o asteroide para uma esfera, podemos calcular o volume
Então
Logo
Substituindo na equação da velocidade de escape
Isso vai dar
Mas queremos descobrir o raio. Vamos isola-lo
Então
Agora é só substituir os valores
Ou seja
Esse é o raio máximo.
Passo 3
Agora vamos para o item (b). Queremos descobrir a densidade média da lua Europa e temos o raio e a aceleração da gravidade na superfície.
Bem a aceleração na superfície pode ser calculada assim
E a como no item anterior, a gente pode aproximar a lua de uma esfera e colocar a massa em função do raio e da densidade
Então
Isso vai dar
Agora é só isolar a densidade
E finalmente é só substituir os valores
Isso vai dar