Enunciado

Um projétil é lançado verticalmente para cima a partir da superfície da Terra. Despreze a rotação da Terra. Em múltiplos do raio da Terra R T , que distância o projétil atinge se (a) sua velocidade inicial é 0,500 da velocidade de escape da Terra e (b) sua energia cinética inicial é 0,500 da energia cinética necessária para escapar da Terra? (c) Qual é a menor energia mecânica inicial necessária para que o projétil escape da Terra?

Passo 1

Queremos saber até onde vai um projétil lançado, da superfície da Terra, com uma certa velocidade.

Para começar, a velocidade inicial é 0,500 da velocidade de escape da Terra, então vamos achar esse valor. Sabemos que a fórmula para a velocidade de escape vem da igualdade:

m . v e 2 2 = G . M . m R T

Logo:

v e = 2 . G . M R T

Como 0,500 = 1 2 , a velocidade inicial do projétil será:

v i n i c i a l = 1 2 . v e = 1 2 . 2 . G . M R T

Agora, vamos aplicar a lei de conservação de energia:

K i n i c i a l + U i n i c i a l = K f i n a l + U f i n a l

Sabendo que, para atingir a altura máxima, o projétil deverá ter K f i n a l = 0 , e que o projétil é lançado a partir da superfície da Terra:

m v i n i c i a l 2 2 - G M m R T = - G M m R m a x

Cortando a massa m e substituindo o valor de v i n i c i a l :

v i n i c i a l 2 2 - G M R T = - G M R m a x

1 2 . 2 . G . M R T 2 2 - G M R T = - G M R m a x

1 4 . G . M R T - G M R T = - G M R m a x

Agora cortando G . M :

1 4 . R T - 1 R T = - 1 R m a x

Colocando 1 R T em evidência:

1 R T   .   1 4 - 1 = - 3 4 . R T = - 1 R m a x

R m a x = 4 3   .   R T

Como o enunciado permite que deixemos a resposta “em múltiplos do raio da Terra”, a questão acaba aqui.

Resposta

(a) R m a x = 4 3 R T

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