Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 13
13.13E Considere as raízes enésima da unidade, ou seja, as soluções de , para A) , B) e C) . Para cada valor de , represente as soluções encontradas em um gráfico no plano complexo .
Passo 1
Belezoca de motoca galerinha, vocês já ouviram falar que o número possui mais de uma raiz para alguma raiz n-ésima? Pois bem, o exercício quer que a gente encontre as raízes (no plural) n-ésima do número !!
Calma lá meu patrão, porque isso vai ser bonito de ver, saca só, temos a representação imaginária do nosso número , tal que:
E além disso, queremos sua raiz n-ésima, do tipo:
Ou seja, queremos um número tal que:
Onde é a nossa raiz. Logo:
Passo 2
Show de bolinhas, agora que a brincadeira começa a ficar divertida. Se liga, um número complexo também pode ser expresso da forma polar, tal que:
Da mesma maneira para , mas com outros parâmetros, temos:
Onde e são os respectivos módulos de cada número imaginário. Logo, nossa igualdade será:
Passo 3
Mas calma lá jovem mancebo, porque o bizu master aqui, é a gente aplicar a Fórmula de De Moivre, que nos diz que, para parâmetros unitários a seguinte igualdade é satisfeita:
E se a gente substituir na equação, obtemos que:
Logo:
Então pela semelhança de números imaginários, chegamos nas igualdades:
Portanto:
Onde representa o numero de voltas que o ângulo pode dar para um dado , tal que . Sabendo disso, podemos voltar na nossa igualdade e substituir os termos, tal que:
Portanto a raiz n-ésima de um número complexo é dada pela expressão:
Onde é nosso conhecidíssimo ângulo expresso pela relação:
Dado o número complexo .
Passo 4
Show, descobrimos então como encontrar a raiz n-ésima de qualquer número expresso como:
MAAASSS, o enunciado quer a gente faça isso para o número .
Mas se liga só, no número imáginario, representamos a parte imaginária e a parte real , no caso do número temos somente a parte real, tal que:
De forma que e . Belezoca, então o módulo desse número será:
Dessa maneira, podemos expressar as raízes como:
Além disso, vamos ter que o ângulo será:
Portanto as raízes de serão da forma:
Passo 5
Iradoso, então agora a gente só precisa encontrar os valores para cada respectivo . Na letra (A) temos que , logo:
E teremos que . Logo, para temos:
E para , obtemos:
Portanto quando , possuímos raizes
Passo 6
Agora na letra (B), temos , logo:
E também temos que . Portanto, primeiro para
Agora para :
E por fim para , temos que:
Portanto, para temos raízes distintas:
Passo 7
E por último, mas não menos importante, na letra (C) temos :
E teremos que . Portanto, começando pelo :
Agora para , temos:
Para :
E por fim para :
Portanto as raízes para são:
