13.1E Uma partícula anda com velocidade de módulo 5,0   m/s em um círculo situado no plano x y , cujo raio vale 1,0   m . Considere o sistema de coordenadas x y com origem no centro do círculo. No instante t = 0 as coordenadas da partícula são x = 0,5   m , y = 3 2 m . A) Escreva as funções x t e y t . B) Escreva as funções v x t e v y t .

Passo 1

Show de bolinhas galera, estamos falando de uma partícula que percorre um círculo de raio 1,0   m com velocidade constante de módulo 5,0   m/s , logo estamos falando de um oscilador harmônico, e dessa maneira queremos descobrir as funções x t e y t da posição.

Mas calma lá jovem mancebo, vimos neste capitulo que a equação da posição num movimento harmônico simples é dada pela expressão:

x t = R cos ⁡ ω t + ϕ

Onde R é o raio da trajetória, ω é a velocidade angular enquanto ϕ é o que a gente chama de fase do movimento, que na verdade representa o ângulo da posição inicial da partícula.

Passo 2

Show de bolinhas, o enunciado já nos deu que o raio da trajetória é R = 1,0   m e a velocidade é v = 5,0   m/s , sendo a velocidade ω vai ser:

ω = v R

ω = 5,0   m/s 1,0   m = 5,0   s -1

Já a fase do movimento, podemos tirar devido a posição inicial em x = 0,5   m , y = 3 2 m , sabemos que no círculo, o ângulo inicial dessa posição inicial é dado por:

tan ⁡ ϕ = y x

ϕ = arctan ⁡ 3 2 1 2  

Logo:

ϕ = arctan ⁡ 3  

ϕ = 60 °

Passo 3

Dessa maneira, a posição x t da partícula é dada pela expressão:

x t = R cos ⁡ ω t + ϕ

x t = 1,0 cos ⁡ 5,0 t + 60 °

Já para a posição y t temos a correspondente trigonométrica:

y t = R se n ⁡ ω t + ϕ

y t = 1,0 sen ⁡ 5,0 t + 60 °

Passo 4

Agora na letra (B) pra gente encontrar a velocidade em cada coordenada, podemos aplicar o conceito de derivadas, já que a derivada da posição nos fornece a velocidade, logo:

v x t = x ' t

v x t = - ω R sen ⁡ ω t + ϕ  

Logo:

v x t = - 5,0 sen ⁡ 5,0 t + 60 °

E para a coordenada y t temos:

v y t = y ' t

v y t = ω R cos ⁡ ω t + ϕ  

Logo:

v y t = 5,0 cos ⁡ 5,0 t + 60 °

Resposta

  1. x t = 1,0 cos ⁡ 5,0 t + 60 ° , y t = 1,0 sen ⁡ 5,0 t + 60 °
  2. v x t = - 5,0 sen ⁡ 5,0 t + 60 ° , v y t = 5,0 cos ⁡ 5,0 t + 60 °

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