13.3E Um oscilador harmônico apresenta no instante t = 0 os seguintes valores para suas variáveis de movimento: x = - 2,50   cm ,   v = - 43,3   cm/s ,   a = 250   cm/s² . Calcule, a amplitude, a frequência angular e a fase inicial do oscilador.

Passo 1

Show de bolinhas pessoal, vimos que a posição, a velocidade e a aceleração de uma partícula em movimento harmônico simples são descritas pelas expressões:

x t = x m cos ⁡ ω t + ϕ

v t = - ω x m s e n ⁡ ω t + ϕ

a t = - ω 2 x m cos ⁡ ω t + ϕ

Logo, em t = 0 temos:

x 0 = x m cos ⁡ ϕ = - 2,5   cm

v 0 = - ω x m sin ⁡ ϕ = - 43,3   cm/s

a 0 = - ω 2 x m cos ⁡ ϕ = 250   cm/s²

Passo 2

Mas saca só, a malandragem começa quando a gente pegar a aceleração inicial a 0 e dividir pela posição inicial x 0 , tal que:

a 0 x 0 = - ω 2 x m cos ⁡ ϕ x m cos ⁡ ϕ = - ω 2

E também:

a 0 x 0 = 250   cm/s² - 2,5   cm = - 100   s -2  

Dessa maneira, igualando nossas descobertas, temos que:

- ω 2 = - 100   s -2

Logo:

ω = 10   s -1

Passo 3

Belejóia, então continuando com a malandragem, podemos agora dividir a velocidade inicial v 0 pela posição inicial x 0 , desse jeito:

v 0 x 0 = - ω x m sen ⁡ ϕ x m cos ⁡ ϕ = - ω tan ⁡ ϕ

E também se a gente dividir os valores, obtemos:

v 0 x 0 = - 43,3   cm/s 2,5   cm = - 17,32   s -1

Sendo assim, teremos que:

ω tan ⁡ ϕ = 17,32   s -1

E como descobrimos que ω = 10   s -1 :

tan ⁡ ϕ = 1,732

ϕ = arctan ⁡ 1,732

ϕ = 120 °

Passo 4

Belezoca, agora pra gente encontrar a amplitude x m podemos usar a equação inicial da posição:

x 0 = x m cos ⁡ ϕ = 2,5   cm

Como sabemos que ϕ = 120   ° , então:

x m = 2,5 cos ⁡ 120 cm

x m = 5,0   cm

Resposta

x m = 5,0   cm

ω = 10   s -1

ϕ = 120 °

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