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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 15.Exercícios e Problemas - Ex. 15

15.15E Um fio de comprimento igual a 5   m está carrgeado com uma densidade uniforme de carga igual a 1,0   μ C / m . Calcule o campo elétrico à distância de 2,0   c m do fio em um ponto longe de suas extremidades.

Passo 1

Show de bolinhas galera, pra gente calcular o campo elétrico de um fio sobre um ponto usamos a relação pra calcular o campo em cada sentido x ,   y :

E x = k ∫ - a a λ x x 2 + y 2 3 2 d y ,     E y = k ∫ - a a λ y x 2 + y 2 3 2 d y

Onde λ é a nossa densidade de carga uniforme do fio λ = 1,0   μ C / m , a é a metade do tamanho total do fio a = 5 2   m , enquanto x é constante e igual a distância do fio até o ponto em metros x = 0,02   m .

Passo 2

Iradoso, sabendo disso podemos primeiro calcular o campo elétrico no eixo x , E x dado por:

E x = k ∫ - a a λ x x 2 + y 2 3 2 d y

Como λ e x são constantes, podemos tirar elas integral, desse jeito:

E x = k λ x ∫ - a a 1 x 2 + y 2 3 2 d y

E agora pra ficar melhor, podemos fazer uma substituição trigonométrica:

y = x tan ⁡ θ

Tal que:

d y = x sec ² ⁡ θ d θ

Logo:

E x = k λ x ∫ - a a 1 x 2 + x tan ⁡ θ 2 3 2 x sec ² ⁡ θ d θ

E x = k λ x ∫ - a a x sec ² ⁡ θ x 2 + x ² tan ² ⁡ θ 3 2 d θ

Colocando x 2 em evidência no denominador, temos:

E x = k λ x ∫ - a a x sec ² ⁡ θ x 2 1 + tan ² ⁡ θ 3 2 d θ

Só que como a trigonometria é cheia de safadezas, temos nossa identidade fundamental:

sec ² ⁡ θ = 1 + tan ² ⁡ θ

Logo substituindo essa identidade, temos:

E x = k λ x ∫ - a a x sec ² ⁡ θ x 2 sec ² ⁡ θ 3 2 d θ

E x = k λ x ∫ - a a x sec ² ⁡ θ x sec ⁡ θ 2 3 / 2 d θ

E x = k λ x ∫ - a a x sec ² ⁡ θ x ³ sec ³ ⁡ θ d θ = k λ x ∫ - a a 1 x 2 sec ⁡ θ d θ

E x = k λ x ∫ - a a 1 sec ⁡ θ d θ

E como cos ⁡ θ = 1 sec ⁡ θ temos que:

E x = k λ x ∫ - a a cos ⁡ θ d θ

Passo 3

Agora sim podemos finalmente integrar nossa equação:

E x = k λ x ∫ - a a cos ⁡ θ d θ

E x = k λ x sen ⁡ θ - a a

Mas como nossa variável inicial era y , devemos voltar pra ela. No Passo 2, dissemos que:

y = x tan ⁡ θ

Logo:

tan ⁡ θ = y x

Mas sabemos que a tangente é calculada através da relação:

tan ⁡ θ = cateto oposto cateto adjacente = y x

Dessa forma a hipotenusa será h = x 2 + y 2 e o seno desse ângulo será:

sin ⁡ θ = cateto oposto hipotenusa = y x 2 + y 2

Logo nossa integral é:

E x = k λ x sen ⁡ θ - a a

E x = k λ x y x 2 + y 2 - a a

E substituindo os valores que o enunciado nos deu, temos:

E x = 9 × 10 9 1 × 10 - 6 0,02 y 0,02 2 + y 2 - 5 / 2 5 / 2

Portanto:

E x = 9 × 10 5   N / C

Passo 4

Agora para a segunda coordenada, temos que:

E y = k ∫ - a a λ y x 2 + y 2 3 2 d y

E se a gente fizer a substituição simples x 2 + y 2 = u , teremos:

d u = 2 y d y

d u 2 y = d y

Logo a integral fica:

E y = k ∫ - a a λ y u 3 2 d u 2 y

E y = k λ 2 ∫ - a a 1 u 3 2 d u

E resolver essa integral é um poquinho mais tranquilo do que nossa integral anterior, dessa forma:

E y = k λ 2 - 2 u - a a

Retornando pra nossa variável y , temos:

E y = k λ - 1 x 2 + y 2 - a a

Agora substituindo os valores que o enunciado deu pra gente, temos:

E y = 9 × 10 9 1 × 10 - 6 - 1 0,02 2 + y 2 - 5 / 2 5 / 2

Só que essa nossa função, é uma função ímpar, tal que através de sua paridade, sabemos que o resultado dessa integral é 0 , logo:

E y = 9 × 10 9 1 × 10 - 6 0

E y = 0   N / C

Passo 5

Portanto nosso campo elétrico total é dado por:

E = E x î + E y j ^

E = 9 × 10 5 N / C î + ( 0   N / C ) j ^

E = 9 × 10 5   N / C   î

Resposta

E = 9 × 10 5   N / C   î

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