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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 92a

Quando dois vetores A → e B → são desenhados a partir de um mesmo ponto, o ângulo entre eles é φ . a) Usando técnicas vetoriais, mostre que o módulo da soma destes vetores é dado por A 2 + B 2 + 2 A B c o s φ .

Passo 1

Oi, pessoal! Tudo bom?

A gente precisa provar essa formulazinha que o problema deu,

| A | + | B | = A 2 + B 2 + 2 A B c o s φ

Repara que ali dentro temos um termo ao quadrado, outro ao quadrado e 2 vezes o primeiro, vezes o segundo, isso tem cara de produto notável, né? Aquele famoso

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2

Já pensou em o que daria se você fizesse o produto escalar dessa soma vetorial com ela mesma? Ou seja, calcular isso aqui

A → + B → ⋅ A → + B →

Vamos ver no que isso vai dar HAHA.

Passo 2

Podemos usar o binômio de Newton pra fazer isso:

A → + B → ⋅ A → + B → =   A → A → + A → B → + B → A → + B → B →

A → + B → ⋅ A → + B → = A → A → + 2 A → B → + B → B →

O produto de um vetor por ele mesmo é o mesmo que o quadrado do seu módulo, então temos:

A + B 2 = A 2 + B 2 + 2 A → B →

Bacana, não é?

Passo 3

Temos que calcular agora quem é A → B → . Lembra que:

A → B → = A B c o s φ

Com isso, ficamos com,

A + B 2 = A 2 + B 2 + 2 A B c o s φ

Que é o mesmo que:

A + B = A 2 + B 2 + 2 A B c o s φ

E tá provado! \O/

Entendeu tudo? Responde Aí! 👀

Resposta

A + B = A 2 + B 2 + 2 A B c o s φ

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