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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 53

Realiza-se uma experiencia nas profundezas do espaço sideral com duas esferas uniformes de mesmo raio, uma com massa igual a 25,0 kg e a outra com massa igual a 100,0 kg. As esferas possuem raios de mesmo tamanho, r = 0,20   m , e são liberadas a partir do repouso com seus centros a 40,0 m de distancia. Elas aceleram uma ao encontro da outra em virtude da atração gravitacional entre elas. Despreze outras forças gravitacionaos além da existente entre as esferas. a) Explique por que existe conservação do momento linear. b) Quando a distancia entre seus centros for igual a 20,0 m, calcule i) a velocidade de cada esfera e ii) o modulo da velocidade relativa da aproximação entre as duas esferas. c) Qual é a distancia entre o ponto ocupado pelo centro da esfera de 25,0 kg e o ponto no qual as superfícies das duas esferas colidem?

Passo 1

E aí galera! Nesse problema a gente lança duas esferas, do espaço sideral, de mesmo raio mas massas diferentes. Sendo:

m 1 = 25,0   k g

m 2 = 100 , 0   k g

Elas são lançadas a uma distância de 40   m e aceleram em direção a outra por conta da atração gravitacional.

Sabendo disso a gente vai responder alguns itens, considerando apenas a força gravitacional entre as esferas!

Aqui vamos aplicar a conservação de energia e a conservação do momento linear ao movimento das duas esferas.

Passo 2

  1. O momento linear é conservado porque estamos ignorando todas as outras forças, isto é, a rede externa a força no sistema é zero. Portanto,

    2. m 1 v 1 = m 2 v 2

    Passo 3

  2. Do teorema da energia do trabalho na forma

    3. K i + U i = K f + U f ,

    com a energia cinética inicial K i = 0 e:

    U = - G m 1 m 2 r ,

    G m 1 m 2 1 r f - 1 r i = 1 2 m 1 v 1 2 + v 2 2 m 2 .

    Usando a relação de conservação do momento m 1 v 1 2 + v 2 2 m 2 para eliminar v 2 em favor de v 1 e simplificar rendimentos

    v 1 2 = 2 G m 2 2 m 1 + m 2 1 r f - 1 r i ,

    v 1 = 2 × 6,67 × 10 - 11 × 100 2 25 + 100 1 0,20 - 1 0,4

    v 1 = 1,63 × 10 - 5 m s

    com uma expressão semelhante para v 2 :

    v 2 = 2 × 6,67 × 10 - 11 × 25 2 25 + 100 1 0,20 - 1 0,4

    v 2 = 4,08 × 10 - 6   m   /   s

    A magnitude do parente velocidade é a soma das velocidades:

    v 1 + v 2 = 1,63 × 10 - 5 + 0,4 08 × 10 - 6 = 2,04 × 10 - 5 m s

    Passo 4

  3. A distância que os centros das esferas percorrem ( x 1 e x 2 ) é proporcional à sua aceleração, e

x 1 x 2 = a 1 a 2 = m 2 m 1 ,

Ou

x 1 = 4 x 2 .

Quando as esferas finalmente entrarem em contato, seus centros estarão a uma distância de 2 r separados, ou x 1 + x 2 + 2 r = 40   m , ou x 2 + 4 x 2 + 2 r = 40   m . Assim, x 2 = 8 m - 0,4 r e x 1 = 32 m - 1,6 r .

O ponto do contato das superfícies é de:

32   m - 0,6 r = 31,9   m

r = 1 6 m

Da posição inicial do centro da esfera de 25,0   k g .

Resposta

  1. Explicação no passo 1

v 1 = 1,63 × 10 - 5 m s

v 2 = 4,08 × 10 - 6   m   /   s

v 1 + v 2 = 1,63 × 10 - 5 + 0,408 × 10 - 6 = 2,04 × 10 - 5 m s

(c) r = 1 6 m

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