21.75 Duas pequenas esferas idênticas, de massa m   =   15,0   g , estão suspensas por fios de seda de comprimento L =   1,20   m e presos em um ponto comum ( F i g u r a   21.44 ) . Cada esfera possui a mesma carga; logo, q 1 = q 2 = q . Cada fio possui inclinação θ = 25,0 ° com a vertical. ( a ) Faça um desenho mostrando as forças que atuam sobre cada esfera. Considere as esferas como cargas puntiformes. ( b ) Calcule o módulo de q . ( c ) Os dois fios agora se encurtam para um comprimento L =   0,600   m , enquanto as cargas q   e q 2 ficam inalteradas. Qual será o novo ângulo que cada fio formará com a vertical? (Sugestão: esta parte do problema pode ser resolvida numericamente pelo método do das tentativas; escolha um valor inicial para θ e ajuste os valores de θ até obter um valor autoconsistente com a resposta.)

Passo 1

( a )

O diagrama do corpo livre fica, para esquerda e direita, respectivamente:

Passo 2

( b )

∑ F y = m a y

T c o s 25 ° - m g = 0     ⇒ T = m g cos ⁡ 25 °

∑ F x = m a x

T s i n 25 ° - F c = 0     ⇒ T s i n 25 ° = F c

m g cos ⁡ 25 ° ⋅ s i n 25 ° = F c

F c = m g ⋅ t g 25 °

Como,

F c = 1 4 π ε 0 ⋅ q 1 ⋅ q 2 r 2 = 1 4 π ε 0 ⋅ q 2 2 ⋅ 1,2 m ⋅ sin ⁡ 25 ° 2

Fazemos:

F c = F c

m g ⋅ t g 25 ° = 1 4 π ε 0 ⋅ q 2 2 ⋅ 1,2 m ⋅ sin ⁡ 25 ° 2

Sabendo que:

m = 15 ⋅ 10 - 3 k g

g ≅ 9,8 m / s 2

Isolando q da expressão chegamos em:

q = 2,8 ⋅ 10 - 6 C

Passo 3

( c ) Já sabemos que:

F c = F c

m g ⋅ t g 25 ° = 1 4 π ε 0 ⋅ q 2 2 ⋅ 1,2 m ⋅ sin ⁡ 25 ° 2

q = 2,8 ⋅ 10 - 6 C

Vamos pôr o 1,2 m como variável L , e pôr os ângulos como θ e desenvolver:

sin ⁡ θ 2 ⋅ t g θ = 1 4 π ε 0 ⋅ q 2 4 L 2 ⋅ m g

Agora vamos considerar o L = 0,6 m e achar um valor referência do lado direito e chutar valores por tentativa e erro (método numérico) e achar θ :

sin ⁡ θ 2 ⋅ t g θ = 0,3328

Podemos começar a chutar valores para θ , mas como sabemos que θ   pequeno ⇒ t g θ ≅ s i n   ( θ ) , chegamos há s i n θ 3 = 0,3328 ⇒ θ = 43,9 ° ,   essa já pode ser a resposta, mas vamos seguir o conselho do autor e realizar um método numérico, mas já sabemos que o ângulo é menor que 45 ° então, fazendo:

θ ≅ 39,5 °

Deu um pouco diferente de 43,9 ° , já esperado, pois esse valor também foi achado por aproximação, o que temos confiança em dizer é que o ângulo vai estar entre 35 °   e   45 ° .

Resposta

q = 2,8 ⋅ 10 - 6 C

θ ≅ 39,5 °   ,     35 ° < θ < 45 °

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