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Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 37.Problemas Adicionais - Ex. 93

A partícula A (com uma energia de repouso de 200   M e V ) está em repouso no referencial de um laboratório quando decai na partícula B (com uma energia de repouso de 100   M e V ) e na partícula C (com uma energia de repouso de 50   M e V ). Determine (a) a energia total e (b) o momento da partícula B e (c) a energia total e (d) o momento da partícula C.

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver um probleminha sobre relatividade?

Para resolver esse problema, vamos usar a conservação da energia e do momento relativístico. Pela conservação da energia, temos que

E A = E B + E C

Como a partícula A estava em repouso, temos que E A = m A c 2 . Já para as particular B e C, temos que

E B = γ B m B c 2                   E C = γ C m C c 2

Assim,

m A c 2 = γ B m B c 2 + γ C m C c 2

Observe que o enunciado forneceu as energias de repouso m A c 2 = 200   M e V , m B c 2 = 100   M e V e m C c 2 = 50   M e V . Assim,

200 = 100 γ B + 50 γ C → 2 γ B + γ C = 4

Vamos guardar essa relação!

Passo 2

Agora, vamos aplicar a conservação do momento linear:

p → A = p → B + p → C

Considerando que p → A = 0 → já que a particular está em repouso, temos que

p → B = - p → C

Como os vetores estão na mesma direção, podemos resolver o problema como se fossem escalares:

p B = p C

Elevando ao quadrado:

p B 2 = p C 2

O momento relativístico se relaciona com a energia por

E 2 = p c 2 + m c 2 2

Logo,

E B 2 - m B c 2 2 = E C 2 - m C c 2 2

Ou ainda,

γ B 2 - 1 m B c 2 2 = γ C 2 - 1 m C c 2 2

Como m B c 2 = 100   M e V e m C c 2 = 50   M e V , temos que

4 γ B 2 - 1 = γ C 2 - 1 → 4 γ B 2 - γ C 2 = 3

Portanto, precisamos resolver o sistema

2 γ B + γ C = 4 4 γ B 2 - γ C 2 = 3

Resolvendo esse sistema, achamos

γ B = 1,19             e           γ C = 1,62

Passo 3

A energia da partícula B é

E B = γ B m B c 2 = 1,19 ⋅ 100 → E B = 119   M e V

Já o momento:

p B c = E B 2 - m B c 2 2 = 119 2 - 100 2 = 64,5   M e V

Assim,

p B = 64,5 M e V c 2

Já para a partícula C:

E C = γ C m C c 2 = 1,62 ⋅ 50 → E C = 81   M e V

p C = p B = 64,5 M e V c

Resposta

E B = 119   M e V

p B = p C = 64,5 M e V c 2

E C = 81   M e V

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