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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 33

33. Uma barra reta de massa desprezível está montada sobre um pivô sem atrito, como mostrado na figura 7-38. Blocos de massa m 1 e m 2 estão presos à barra, nas distânica l 1 e l 2 .

a) Escreva uma expressão para a energia potencial gravitacional do sistema blocos-Terra como função do ângulo θ que a barra forma com a horizontal.

b) Para qual ângulo θ , esta energia potencial é mínima? A afirmativa “sistemas tendem a se mover para uma configuração de energia potencial mínima” é consistente com o seu resultado?

c) Mostre que se m 1 l 1 = m 2 l 2 , a energia potencial é a mesma para todos os valores de θ .(Neste caso, o sistema ficará em equilíbrio para qualquer ângulo θ . Esta é conhecida como a “Lei de Arquimedes da Alavanca”).

Passo 1

a)

A energia potencial gravitacional deste sistema de dois objetos é a soma de suas energias potenciais individuais ( U 1 e   U 2 ) e depende de uma escolha arbitrária de onde a energia potencial gravitacional é zero. A melhor opção é aquela que simplifica os detalhes matemáticos da expressão para U . Nesse problema, vamos escolher U = 0 onde θ = 0 .

Vamos então determinar U para o sistema de 2 objetos, como a soma de suas energias potenciais gravitacionais. Temos que observar que o bloco cuja massa é m 2 está acima da posição que escolhemos para U = 0 e sua energia potencial é positiva, enquanto a do bloco cuja massa é m 1 é negativo:

Temos, então que:

U θ = U 1 + U 2

U θ = m 2 g l 2 sen ⁡ θ - m 1 g l 1 sen ⁡ θ

U θ = g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )

Passo 2

b)

Para encontrar o valor de θ , para o qual a energia potencial é mínima, vamos derivar a expressão de U θ encontrada na letra a e igualá-la a zero, para ver se conseguimos encontrar algum ponto crítico:

U θ = g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )

Queremos   d U d θ :

d U d θ = d g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 ) d θ = 0

g cos ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 ) = 0

O único jeito de zerar essa expreesão é cos  ⁡ θ = 0 .

cos  ⁡ θ = 0

  ⁡ θ = ± π 2

Agora, vamos realizar o teste da segunda derivada para ver se o pontos encontrados são de máximo ou mínimo. Lembrando, que para ser mínimo, a segunda derivada precisa dar um valor positivo:

Queremos a segunda derivada:

d d θ d U d θ = d d θ ( g cos ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 ) )

d d θ d U d θ = - g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )

Façamos então o teste para os dois pontos que queremos:

Para   ⁡ θ = + π 2  

d ² U d θ ²   ⁡ θ = + π 2 = - g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )   ⁡ θ = + π 2 = - g ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )

Logo   ⁡ θ = + π 2 é um ponto de máximo

Para   ⁡ θ = - π 2  

d ² U d θ ²   ⁡ θ = - π 2 = - g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )   ⁡ θ = + π 2 = g ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )

Logo   ⁡ θ = - π 2 é um ponto de mínimo.

A energia será portanto, minima em   ⁡ θ = - π 2 .

Passo 3

c) Se m 1 l 1 = m 2 l 2 , então basta olhar a seguinte fórmula para ver o que vai acontecer:

U θ = g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )

Bom! Acho que não precisa dizer mais nada! No caso de m 1 l 1 = m 2 l 2 , U será igual a zero para qualquer valor do ângulo θ uma vez que m 2 l 2 - m 1 l 1 = 0 .

Resposta

a)   U θ = g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 )  

b) A energia potencial é mínima para   ⁡ θ = - π 2 .

c) A energia potencial será a mesma, e igual a zero, para qualquer valor de θ .

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