33. Uma barra reta de massa desprezível está montada sobre um pivô sem atrito, como mostrado na figura 7-38. Blocos de massa m 1 e m 2 estão presos à barra, nas distânica l 1 e l 2 .a) Escreva uma expressão para a energia potencial gravitacional do sistema blocos-Terra como função do ângulo θ que a barra forma com a horizontal.b) Para qual ângulo θ , esta energia potencial é mínima? A afirmativa “sistemas tendem a se mover para uma configuração de energia potencial mínima” é consistente com o seu resultado?c) Mostre que se m 1 l 1 = m 2 l 2 , a energia potencial é a mesma para todos os valores de θ .(Neste caso, o sistema ficará em equilíbrio para qualquer ângulo θ . Esta é conhecida como a “Lei de Arquimedes da Alavanca”).

a)U θ = g sen ⁡ θ ( m 2 l 2 - m 1 l 1 ) b) A energia potencial é mínima para ⁡ θ = - π 2 .c) A energia potencial será a mesma, e igual a zero, para qualquer valor de θ .

Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo 7.1 - Ex. 33

33. Uma barra reta de massa desprezível está montada sobre um pivô sem atrito, como mostrado na figura 7-38. Blocos de massa e estão presos à barra, nas distânica e .

a) Escreva uma expressão para a energia potencial gravitacional do sistema blocos-Terra como função do ângulo que a barra forma com a horizontal.

b) Para qual ângulo , esta energia potencial é mínima? A afirmativa “sistemas tendem a se mover para uma configuração de energia potencial mínima” é consistente com o seu resultado?

c) Mostre que se , a energia potencial é a mesma para todos os valores de .(Neste caso, o sistema ficará em equilíbrio para qualquer ângulo . Esta é conhecida como a “Lei de Arquimedes da Alavanca”).

Passo 1

A energia potencial gravitacional deste sistema de dois objetos é a soma de suas energias potenciais individuais e e depende de uma escolha arbitrária de onde a energia potencial gravitacional é zero. A melhor opção é aquela que simplifica os detalhes matemáticos da expressão para . Nesse problema, vamos escolher onde .

Vamos então determinar para o sistema de 2 objetos, como a soma de suas energias potenciais gravitacionais. Temos que observar que o bloco cuja massa é está acima da posição que escolhemos para e sua energia potencial é positiva, enquanto a do bloco cuja massa é é negativo:

Temos, então que:

Passo 2

Para encontrar o valor de , para o qual a energia potencial é mínima, vamos derivar a expressão de encontrada na letra a e igualá-la a zero, para ver se conseguimos encontrar algum ponto crítico:

Queremos :

O único jeito de zerar essa expreesão é .

Agora, vamos realizar o teste da segunda derivada para ver se o pontos encontrados são de máximo ou mínimo. Lembrando, que para ser mínimo, a segunda derivada precisa dar um valor positivo:

Queremos a segunda derivada: