48. Um carrinho de montanha-russa está se movendo com rapidez no início do percurso, quando desce um vale de e depois sobe até o topo de uma elevação, acima do início do percurso. Desconsidere o atrito e a resistência do ar.

(a) Qual a menor rapidez necessária para que o carrinho ultrapasse o topo da elevação?

(b) Esta rapidez pode ser alterada modificando-se a profundidade do vale, para que o carrinho adquira mais rapidez lá embaixo? Explique.

(a) Aplicando o teorema trabalho e energia para o nosso sistema, onde é a notação de energia cinética, é a notação de energia potencial e é o trabalho da força externa chegamos a:

Mas como , uma vez que não há forças externas agindo no nosso sistema, temos que:

Só que e , nada mais são do que a diferença entre as energias finale e inicial e ). Com isso, obtemos que:

Agora vamos parar um pouco as contas para analisar com calma o nosso problema. Como descrito no enunciado, no instante inicial o carrinho está descendo um vale numa altura acima da origem, movendo-se com uma velocidade . É aí que vem o grande xissss da questão. O enunciado pede a menor velocidade necessária para que o carrinho ultrapasse o topo da elevação. Ora bolas, a menor velocidade , vai ocorrer na situação em que não há nenhuma velocidade no topo da elevação , havendo apenas energia potencial nesse instante. Ou seja vai ser igual a zero.

Substituindo as fórmulas relativas a cada tipo de energia, chegamos a:

Cancela-se a massa e isola-se o :

Aí sim! Chegamos à formula pelo qual tanto batalhamos. Resta só substituir os valores numéricos correspondentes:

(b) Bom! Essa é uma pergunta um tanto quanto traiçoeira. Mas vamos dar uma olhada na equação para que encontramos lá no :

Olhando essa fórmula percebemos que a velocidade necessária depende apenas da diferença de altura entre as duas elevações. Logo modificar a profundidade do vale não muda nada. Captou !