35. a ) Um deutério, H 21 , é o núcleo de um isótopo do hidrogênio, e consiste em um próton e um nêutron. O plasma de deutérios em um reator de fusão nuclear precisa ser aquecido a cerca de 300 milhões de K . Qual é a velocidade quadrática média dos deutérios? Esse valor é uma fração significativa da velocidade da luz ( c = 3,0 * 10 8   m / s ) ? b ) Qual seria a temperatura do plasma se os deutérios tivessem uma velocidade quadrática média igual a 0,10 c ?

Passo 1

Para esse problema, tanto para o item ( a ) , quanto para o item ( b ) , vamos usar a mesma equação que nos force a velocidade quadrática média que é:

v = 3 k T m

Só que para o item ( b ) , vamos isolar a temperatura T , assim:

T = m v 2 3 k

Onde k é a constante de Boltzmann, dada por:

k = 1,381 * 10 - 23   J / m o l é c u l a ⋅ K

A massa das fórmulas acima é dada pela soma da massa do próton e do nêutron que são basicamente iguais, temos:

m p = 1,675 * 10 - 27   k g

m n = 1,675 * 10 - 27   k g

Assim:

m = m p + m n = 1,675 * 10 - 27 + 1,675 * 10 - 27  

= 3,35 * 10 - 27   k g

Passo 2

Agora vamos encontrar a velocidade pedida no item ( a ) , temos:

v = 3 k T m

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

v = 3 ( 1,381 * 10 - 23 ) ( 300 * 10 6 ) 3,35 * 10 - 27

1242,9 * 10 - 17 3,35 * 10 - 27

Assim, temos que:

v = 19,26 * 10 5   m / s

Para saber se esse valor é uma parte significativa da velocidade da luz, basta dividi-lo por c , assim:

19,26 * 10 5 3 * 10 8 = 6,42 * 10 - 3

Não chega a ser uma parte significativa.

Passo 3

Agora vamos encontrar a temperatura para uma velocidade de 0,10 c , temos primeiro que:

0,1 c = 3 * 10 7   m / s

Agora vamos substituir o que sabemos na expressão para a temperatura, assim:

T = m v 2 3 k

T = ( 3,35 * 10 - 27 ) ( 3 * 10 7 ) 2 3 ( 1,381 * 10 - 23 )

= 30,15 * 10 - 13 4,143 * 10 - 23

Assim, temos:

T = 7,27 * 10 10   K

Resposta

( a )

v = 19,26 * 10 5   m / s

( b )

T = 7,27 * 10 10   K

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