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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 32.Problemas - Ex. 36

36- Considere uma onda eletromagnética senoidal tal que os campos sejam dados pelas equações E → = E m á x j   s e n ( k x - ω t ) e B → = B m á x k   s e n ( k x - ω t + ϕ ) , com - π ≤ ϕ ≤ π .

Mostre que, se E → e B → satisfazem as equações ( 32.12 ) e ( 32.14 ) , então concluímos que E m á x = c B m á x e ϕ = 0 . (O resultado ϕ = 0 indicam que os campos E → e B → oscilam em fase.)

Passo 1

A equação 32.14 nos diz que:

- ∂ B z ∂ x = ϵ 0 μ 0 ∂ E y ∂ t

Então teremos as seguintes derivadas primeiras para cada onda:

∂ B z ∂ x = k B m á x c o s ⁡ ( k x - ω t + ϕ )

∂ E y ∂ t = - ω E m á x cos ⁡ k x - ω t

Então se colocarmos isso na Equação nós teremos:

- k B m á x cos ⁡ k x - ω t + ϕ = - ϵ 0 μ 0 ω E m á x cos ⁡ k x - ω t

E por enquanto vamos escrever o que encontramos da seguinte forma:

B m á x cos ⁡ k x - ω t + ϕ E m á x cos ⁡ k x - ω t = ϵ 0 μ 0 ω k

Onde c 2 = 1 ϵ 0 μ 0 então:

B m á x cos ⁡ k x - ω t + ϕ E m á x cos ⁡ k x - ω t = ω k c 2

E ω = 2 π f e k = 2 π λ então:

B m á x cos ⁡ k x - ω t + ϕ E m á x cos ⁡ k x - ω t = 2 π f λ 2 π c 2 = 1 c

Passo 2

E a equação 32.12 será:

∂ E y ∂ x = - ∂ B z ∂ t

E teremos as seguintes derivadas parciais.

∂ E y ∂ x = k E m á x c o s ⁡ ( k x - ω t )

∂ B z ∂ t = - ω B m á x c o s ⁡ ( k x - ω t + ϕ )

Então se aplicarmos na equação nós temos:

k E m á x cos ⁡ k x - ω t = ω B m á x c o s ⁡ ( k x - ω t + ϕ )

E seguindo o que fizemos no passo anterior nós temos:

B m á x cos ⁡ k x - ω t + ϕ E m á x cos ⁡ k x - ω t = k ω = 2 π λ 2 π f = 1 λ f = 1 c

Passo 3

Então beleza as duas equações nos dão resultados iguais então elas são válidas e que podemos escrever como:

E m á x cos ⁡ k x - ω t = c B m á x cos ⁡ k x - ω t + ϕ

E só podemos dizer que E m á x = c B m á x quando ϕ = 0 para - π ≤ ϕ ≤ π por que podia ser 2 π também, então os campos E → e B → oscilam em fase pois tem o mesmo valor dentro do cosseno.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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