38.25. Um átomo de berílio triplamente ionizado B e 3 + (um átomo de berílio que perdeu três elétrons) apresenta um comportamento semelhante ao do átomo de hidrogênio, a não ser pelo fato de ter uma carga nuclear quatro vezes maior do que a do hidrogênio. a) Qual é a energia do nível fundamental do berílio? Como ela se compara à energia de ionização do átomo de hidrogênio? b) Qual é a energia de ionização do B e 3 + ? Como ela se compara à energia da ionização do átomo de hidrogênio? c) Para o átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido na transição n=2 para n=1 é igual a 122 nm (Exemplo 38.6, Seção 38.5). Qual é o comprimento de onda quando o íon B e 3 + realiza a mesma transição? d) Para um dado valor de n, como se compara o raio da órbita do íon B e 3 + ao raio da órbita do mesmo nível do átomo de hidrogênio?

E b e = - 218e V E b e = - 218e V λ = 7,59n m r h r b e = 4

Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 38.Exercícios - Ex. 25

38.25. Um átomo de berílio triplamente ionizado (um átomo de berílio que perdeu três elétrons) apresenta um comportamento semelhante ao do átomo de hidrogênio, a não ser pelo fato de ter uma carga nuclear quatro vezes maior do que a do hidrogênio. a) Qual é a energia do nível fundamental do berílio? Como ela se compara à energia de ionização do átomo de hidrogênio? b) Qual é a energia de ionização do ? Como ela se compara à energia da ionização do átomo de hidrogênio? c) Para o átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido na transição n=2 para n=1 é igual a 122 nm (Exemplo 38.6, Seção 38.5). Qual é o comprimento de onda quando o íon realiza a mesma transição? d) Para um dado valor de n, como se compara o raio da órbita do íon ao raio da órbita do mesmo nível do átomo de hidrogênio?

Passo 1

Um a informação importante que o enunciado nos dá é que o comportamento desse átomo é semelhante ao do átomo, mas a carga nuclear é quatro vezes maior. Bom, a gente sabe que o calculo da energia do nível fundamental do hidrogênio é o seguinte

Mas a carga nuclear é quatro vezes maior, então , se fosse do hidrogênio simples, seria . Agora podemos calcular a energia do Berílio

A gente pode fazer o seguinte

Repare que a energia do berílio triplamente ionizado é dezesseis vezes o valor da energia do hidrogênio no nível fundamental, e é assim que a energia desses dois átomos se compara, um é proporcional ao quadrado do outro.

E o valor da energia do hidrogênio é

Então

Passo 2

Agora vamos para o item (b). A energia de ionização é referente a energia para liberar um elétron do átomo. Para calcular a energia de ionização a gente tem que calcular a variação da energia de .

Vamos lá, no item (a) a gente achou a seguinte equação para a energia do átomo de berílio triplamente ionizado

Repare que está no denominador, então quando , . E quando ,

Então

Então, a energia de ionização do berílio, é de novo dezesseis vezes a energia de ionização do hidrogênio

Passo 3

Agora vamos para o item (c). Bom, para calcular o comprimento de onda de uma transição no hidrogênio, a gente tem essa equação

Mas a gente não quer para o hidrogênio, mas para o átomo do berílio triplamente ionizado. Bom o cálculo de é:

Com . Como o átomo que nos interessa se comporta como o hidrogênio, exceto por sua carga nuclear ser quatro vezes maior, a gente pode calcular assim

Ou seja

Então o comprimento de onda pode ser calculado assim

Então

Agora é só substituir os valores

Fazendo essa continha temos

Passo 4

Vamos finalmente para o item (d). Vamos compara os raios dos dois átomos. Bom o átomo de hidrogênio a gente calcula assim

E para o berílio é assim

Com .

Agora vamos comparar esses raios.

Bom, a gente pode cortar praticamente tudo, vai ficar assim

Então

Então o raio do berílio é quatro vezes maior do que o raio do hidrogênio para um dado valor de .

Resposta

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