Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 38.Exercícios - Ex. 25
38.25. Um átomo de berílio triplamente ionizado (um átomo de berílio que perdeu três elétrons) apresenta um comportamento semelhante ao do átomo de hidrogênio, a não ser pelo fato de ter uma carga nuclear quatro vezes maior do que a do hidrogênio. a) Qual é a energia do nível fundamental do berílio? Como ela se compara à energia de ionização do átomo de hidrogênio? b) Qual é a energia de ionização do ? Como ela se compara à energia da ionização do átomo de hidrogênio? c) Para o átomo de hidrogênio, o comprimento de onda do fóton emitido na transição n=2 para n=1 é igual a 122 nm (Exemplo 38.6, Seção 38.5). Qual é o comprimento de onda quando o íon realiza a mesma transição? d) Para um dado valor de n, como se compara o raio da órbita do íon ao raio da órbita do mesmo nível do átomo de hidrogênio?
Passo 1
Um a informação importante que o enunciado nos dá é que o comportamento desse átomo é semelhante ao do átomo, mas a carga nuclear é quatro vezes maior. Bom, a gente sabe que o calculo da energia do nível fundamental do hidrogênio é o seguinte
Mas a carga nuclear é quatro vezes maior, então , se fosse do hidrogênio simples, seria . Agora podemos calcular a energia do Berílio
A gente pode fazer o seguinte
Repare que a energia do berílio triplamente ionizado é dezesseis vezes o valor da energia do hidrogênio no nível fundamental, e é assim que a energia desses dois átomos se compara, um é proporcional ao quadrado do outro.
E o valor da energia do hidrogênio é
Então
Passo 2
Agora vamos para o item (b). A energia de ionização é referente a energia para liberar um elétron do átomo. Para calcular a energia de ionização a gente tem que calcular a variação da energia de .
Vamos lá, no item (a) a gente achou a seguinte equação para a energia do átomo de berílio triplamente ionizado
Repare que está no denominador, então quando , . E quando ,
Então
Então, a energia de ionização do berílio, é de novo dezesseis vezes a energia de ionização do hidrogênio
Passo 3
Agora vamos para o item (c). Bom, para calcular o comprimento de onda de uma transição no hidrogênio, a gente tem essa equação
Mas a gente não quer para o hidrogênio, mas para o átomo do berílio triplamente ionizado. Bom o cálculo de é:
Com . Como o átomo que nos interessa se comporta como o hidrogênio, exceto por sua carga nuclear ser quatro vezes maior, a gente pode calcular assim
Ou seja
Então o comprimento de onda pode ser calculado assim
Então
Agora é só substituir os valores
Fazendo essa continha temos
Passo 4
Vamos finalmente para o item (d). Vamos compara os raios dos dois átomos. Bom o átomo de hidrogênio a gente calcula assim
E para o berílio é assim
Com .
Agora vamos comparar esses raios.
Bom, a gente pode cortar praticamente tudo, vai ficar assim
Então
Então o raio do berílio é quatro vezes maior do que o raio do hidrogênio para um dado valor de .