40 . Cinco voltímetros com impedância infinita, calibrados para medir o valor eficaz da tensão, são conectados conforme indicado na Figura P 31.40 . Seja R = 200   Ω , L = 0,400   H , C = 6,0   μ F e V = 30,0   V . Qual é a leitura de cada voltímetro quando a   ω = 200   r a d / s ? b   ω = 1.000   r a d / s ?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Temos que encontrar a leitura de cada voltímetro, mas temos que saber o que cada voltímetro está medindo.

E temos que notar que o voltímetro está calibrado para medir a tensão eficaz, isso quer dizer que ele mede a voltagem quadrática média, dada por:

V q m = V 2

Então teremos uma corrente eficaz também ( I q m ) .

O voltímetro V 1 está medindo a voltagem na resistência R , então:

V 1 = I q m R

O voltímetro V 2 mede a voltagem no indutor, que é dada por:

V 2 = I q m X L

O V 3 mede a voltagem no capacitor, onde:

V 3 = I q m X C

O V 4 mede a tensão no trecho formado pelo indutor e o capacitor, como a voltagem deles é defasada em 180 ° eles têm sinais opostos, logo:

V 4 = V 2 - V 3

E o voltímetro V 5 mede a voltagem de todo o circuito, então ele mede a voltagem eficaz da fonte V q m .

Então para achar esses caras vamos precisar calcular X L , X C e I q m , só que:

I q m = V q m Z

Então temos que achar Z que é dado por:

Z = R 2 + X L - X C 2

Temos que fazer essas contas para cada frequência angular. Vamos as contas então!

Passo 2

Vamos começar com o item ( a ) , onde ω = 200   r a d / s .

Vamos encontrar primeiro X L , X C , Z e I q m .

Temos que X L é dado por:

X L = ω L

⇒ X L = ( 200 ) ( 0,4 )

⇒ X L = 80   Ω

Agora vamos para X C , temos:

X C = 1 ω C

⇒ X C = 1 ( 200 ) ( 6 × 10 - 6 )

⇒ X C = 833,3   Ω

Agora podemos calcular Z , temos:

Z = R 2 + X L - X C 2

⇒ Z = ( 200 ) 2 + 80 - 833,3 2

⇒ Z = 779,4   Ω

Então temos que a corrente I q m é dada por:

I q m = V q m Z

⇒ I q m = V 2 Z

⇒ I q m = 30 2 ( 779,4 )

Então temos que:

I q m = 0,027   A

Passo 3

Agora podemos calcular as voltagens em cada voltímetro. Temos:

V 1 = I q m R

⇒ V 1 = ( 0,027 ) ( 200 )

⇒ V 1 = 5,4   V

Agora para V 2 , temos:

V 2 = I q m X L

⇒ V 2 = ( 0,027 ) ( 80 )

⇒ V 2 = 2,16   V

Para V 3 , temos que:

V 3 = I q m X C

⇒ V 3 = ( 0,027 ) ( 833,3 )

⇒ V 3 = 22,5   V

Agora para V 4 , temos:

V 4 = V 2 - V 3

⇒ V 4 = 2,16 - 22,5

⇒ V 4 = 20,3   V

E por último V 5 , onde temos que:

V 5 = V 2

⇒ V 5 = 30 2

⇒ V 5 = 21,2   V

Passo 4

Vamos com o item ( b ) , onde ω = 1000   r a d / s .

Vamos encontrar primeiro X L , X C , Z e I q m .

Temos que X L é dado por:

X L = ω L

⇒ X L = ( 1000 ) ( 0,4 )

⇒ X L = 400   Ω

Agora vamos para X C , temos:

X C = 1 ω C

⇒ X C = 1 ( 1000 ) ( 6 × 10 - 6 )

⇒ X C = 166,7   Ω

Agora podemos calcular Z , temos:

Z = R 2 + X L - X C 2

⇒ Z = ( 2 00 ) 2 + 40 0 - 166,7 2

⇒ Z = 307,3   Ω

Então temos que a corrente I q m é dada por:

I q m = V q m Z

⇒ I q m = V 2 Z

⇒ I q m = 30 2 ( 307,3 )

Então temos que:

I q m = 0,069   A

Passo 5

Agora podemos calcular as voltagens em cada voltímetro. Temos:

V 1 = I q m R

⇒ V 1 = ( 0,0 69 ) ( 200 )

⇒ V 1 = 13,8   V

Agora para V 2 , temos:

V 2 = I q m X L

⇒ V 2 = ( 0,0 69 ) ( 400 )

⇒ V 2 = 2 7 , 6   V

Para V 3 , temos que:

V 3 = I q m X C

⇒ V 3 = ( 0,0 69 ) ( 166,7 )

⇒ V 3 = 11 , 5   V

Agora para V 4 , temos:

V 4 = V 2 - V 3

⇒ V 4 = 2 7,6 - 11,5

⇒ V 4 = 16,1   V

E por último V 5 , onde temos que:

V 5 = V 2

⇒ V 5 = 30 2

⇒ V 5 = 21,2   V

Com isso finalizamos essa questão!

Resposta

( a )

V 1 = 5,4   V

V 2 = 2,16   V

V 3 = 22,5   V

V 4 = 20,3   V

V 5 = 21,2   V

( b )

V 1 = 13,8   V

V 2 = 27,6   V

V 3 = 11,5   V

V 4 = 16,1   V

V 5 = 21,2   V

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