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Enunciado

Física - Tipler - Vol 2- Ed: 6º - Capítulo 29.1 - Ex. 59

Um circuito consiste em um gerador ac ideal,um capacitor e um indutor ideal,todos conectados em serie.A carga no capacitor edada por Q = 15 μ C cos ⁡ ω t + π 4 ,  onde  ω = 1250 r a d s     a)Determine a corrente no circuito como funcao do tempo.(b)Determine a capacitancia se a indutancia for de 28 mH.(c)Escreva expressões para a energia eletrica U.,energia magnetica U,e energia total U como funcoes do tempo.

Passo 1

Oi oi gente, como vocês estão?

Vamos fazer uma questão passo a passo?

Vamos! Vem comigo.

Podemos diferenciar Q em relação ao tempo para encontrar I em função do tempo. Na letra b podemos encontrar C usando ω = 1 / L C . A energia armazenada no campo magnético do indutor é dada por U m = 1 2 L I 2 e a energia armazenada no campo elétrico do capacitor por U e = 1 2 Q 2 C

Passo 2

Letra a:

Diferencie a cobrança em relação ao tempo para obter a corrente:

I ( t ) = d Q d t = d d t 15 μ C cos ⁡ ω t + π 4 = - ( 15 μ C ) 1250 s - 1 s i n ⁡ ω t + π 4 = ( 18.75 m A ) s i n ⁡ ω t + π 4 = ( 19 m A ) s i n ⁡ ω t + π 4

onde ω = 1250 r a d / s

Passo 3

Letra b:

Relacione C com L e ω :

ω = 1 L C

Resolva para C para obter:

C = 1 ω 2 L

Substitua os valores numéricos e avalie C:

C = 1 1250 s - 1 2 ( 28 m H ) = 22.86 μ F = 23 μ F

Passo 4

Letra c:

Expresse e avalie a energia magnética U m ( t ) :

U m ( t ) = 1 2 L I 2 = 1 2 ( 28 m H ) ( 18.75 m A ) 3 s i n 2 ⁡ ω t + π 4 = ( 4.9 μ J ) s i n 2 ⁡ ω t + π 4

onde ω = 1250 r a d / s

Use U c = 1 2 Q 2 C para encontrar a energia elétrica armazenada no capacitor em função do tempo:

U c ( t ) = 1 2 ( 15 μ F ) 2 22.86 μ F c o s 2 ⁡ ω t + π 4 = ( 4.92 μ J ) c o s 2 ⁡ ω t + π 4 = ( 4.9 μ J ) c o s 2 ⁡ ω t + π 4 ⏟ onde  ω = 1250 r a d / s

A energia total armazenada nos campos elétrico e magnético é a soma de U m ( t ) e U c ( t ) :

U = ( 4.92 μ J ) s i n 2 ⁡ ω t + π 4 + ( 4.92 μ J ) c o s 2 ⁡ ω t + π 4 = 4.9 μ J

Onde ω = 1250 r a d / s

Resposta

  1. 18.75 m A sin ⁡ ω t + π 4 = 19 m A sin ⁡ ω t + π 4
  2. = 23 μ F
  3. U = ( 4.92 μ J ) s i n 2 ⁡ ω t + π 4 + ( 4.92 μ J ) c o s 2 ⁡ ω t + π 4 = 4.9 μ J
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