42. O sistema mostrado na Figura 7-44 está inicialmente em repouso, quando o barbante de baixo é cortado. Encontre a rapidez dos objetos quando eles estão, momentaneamente, à mesmo altura. A polia sem atrito não possui massa.

Passo 1

Consideremos o sistema de análise como o formado pela Terra e pelos dois objetos.Desse modo, não há forças externas atuando no nosso sistema e o trabalho das forças externas, W e x t , é igual a zero. Escolhendo, convenientemente o sistema de referencial potencial gravitacional, U = 0 , na altura inicial em que os dois objetos vão se encontrar, temos que a energia potencial inicial do objeto de 3,0   K g   é positiva e a energia potencial do objeto de 2,0   K g é negativo. Sua soma, no entanto, é positiva. Dada a escolha por nosso referencial U = 0 , essa energia potencial inicial é transformada inteiramente em energia cinética. Vamos aos cálculos !

Passo 2

Aplicando a conservação de energia mecânica para o sistema, onde K é a notação de energia cinética, U é a notação de energia potencial e W e x t é o trabalho da força externa, que no caso, não existe nessa situação, chegamos a:

W e x t = ∆ U + ∆ K

Mas como W e x t = 0 , temos que:

∆ U + ∆ K = 0

∆ K = - ∆ U

Só que ∆ U e ∆ K , nada mais são do que a diferença entre as energias final   ( U f   e K f ) e inicial ( U i   e K i ). Com isso, obtemos que:

K f - K i = - ( U f -   U i )

Agora, vamos analisar o nosso problema. Como descrito no P a s s o   1 , no instante inicial os blocos estão em repouso e logo em seguida são soltos de forma que passam a adquirir velocidade. Assim, olhando a cara dessa situação do exercício, percebe-se que K i e U f tem valor igual a zero. U f é bem simples de entender, uma vez que diz respeito a situação na qual o bloco passa pelo zero de energia potencial, nosso sistema de referência. Logo, nossa relação vai ter a seguinte cara:

K f = U i

Passo 3

Agora é só substituir na relação expressa anteriormente, as fórmulas relativas a energia potencial inicial U i e a energia cinética final K f :

K f = U i

Para melhor entendimento, chamam-se de m 2 e m 3 , as massas pertencentes aos objetos de 2,0   K g   e 3,0   K g , respectivamente e de v f , a velocidade final dos blocos:

1 2 m 2   v f 2 + 1 2 m 3   v f 2 = m 3 g h - m 2 g h

m 2 + m 3 v f 2 = 2 ( m 3 - m 2 ) g h

v f 2 = 2 ( m 3 - m 2 ) g h m 2 + m 3  

v f = 2 ( m 3 - m 2 ) g h m 2 + m 3  

Vale realizar uma observação em relação a altura h . Espera-se que os dois objetos estejam equidistantes da linha zero de energia potencial gravitacional, isto é, que h seja 0,50   m .

Substituem-se então, os valores correspondentes:

v f = 2 ( 3   K g - 2   K g ) ( 9,81   m / s ² ) ( 0,50   m ) 3   K g + 2   K g  

v f = 1,4   m / s

Resposta

A rapidez dos objetos quando estão à mesma altura é 1,4   m / s

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