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Enunciado

Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 45

45. (a) Mostre que a rapidez v de uma partícula de massa m e energia total E é dada por v / c = [ 1 - ( m c 2 2 ) / 2 E 2 ) ]   1 / 2     e que quando E é muito maior que m c 2 , isto pode ser aproximado por v / c ≈ v / c = 1 - ( ( m c 2 ) / 2 E 2 ) . Determine a rapidez de um elétron com energia cinética igual a (b) 0,510   M e V (c) 1,0   M e V

Passo 1

(a) Sabemos que a energia total de uma partícula de massa m , que se move com uma rapidez v , é dada pela seguinte fórmula:

E = m c 2 1 - v 2 c 2

Que podemos reescrever como:

1 - v 2 c 2 = m c 2 E

Vamos elevar os dois lados da equação ao quadrado:

1 - v 2 c 2 2 = m c 2 E 2

1 - v 2 c 2 = ( m c 2 ) 2 E 2

v 2 c 2 = 1 - ( m c 2 ) 2 E 2

v c = 1 - ( m c 2 ) 2 E 2 = 1 - ( m c 2 ) 2 E 2 1 / 2

Pronto! Obtemos a primeira relação que queríamos. Agora vamos usar expansão binomial na nossa expressãozinha ali que está elevado a 1 / 2 , para simplificar nossos cálculos. Lembra lá da expansão binomial?. Se não lembra é bom saber, que se existem dois números quaisquer a e b , ao elevarmos a soma desses dois números a outro número qualquer n , a expressão pode ser escrita, por expansão binomial como:

( a + b ) n = a n + n a n - 1 b + n n - 1 2 a n - 2 b 2 + ⋯ + b n

Então, vamos reescrever nossa formulinha, obtida anteriormente, como:

v c = 1 - ( m c 2 ) 2 E 2 1 / 2 = 1 - 1 2 ( m c 2 ) 2 E 2 + ⋯

Bom! Paramos até o segundo termo, porque depois daí, os outros são tão pequenos que aproximam-se de zero e devem ser desprezados! Logo, chegamos que:

v c ≈ 1 - 1 2 ( m c 2 ) 2 E 2

Passo 2

(b) Da equação v / c , obtida no P a s s o   1 , sabemos que:

v c = 1 - ( m c 2 ) 2 E 2

v = c 1 - ( m c 2 ) 2 E 2

Agora, vamos parar um pouco pra pensar! A energia total de uma partícula é dada pela soma de suas energias cinética K e de repouso E 0 , esta última tem fórmula igual m c 2 . Sendo assim podemos fazer algumas modificações na relação que obtemos acima. Vamos lá!

v = c 1 - E 0 2 ( E 0 + K ) 2

v = c 1 - 1 1 + K E 0 2

Essa é a fórmula que vamos usar para obter a rapidez da partícula. Ah! Só pra informar que a energia de repouso E 0 do elétron é 0,511   M e V .

Vamos, então, obter a velocidade para K = 0,510   M e V :

v | K = 0,510   M e V = c 1 - 1 1 + 0,510   M e V 0,511   M e V 2

v | K = 0,510   M e V ≅ 0,866 c

Passo 3

(b) E agora vamos obter a velocidade , para K = 1,0   M e V

v | K = 1,0   M e V = c 1 - 1 1 + 1,0   M e V 0,511   M e V 2

v | K = 1,0   M e V ≅ 0,891 C

Resposta

a) v c = 1 - ( m c 2 ) 2 E 2 1 / 2   . Por expansão binomial v c pode ser aproximada por v c ≈ 1 - 1 2 ( m c 2 ) 2 E 2   .

b) v ≅ 0,866 c

c) v ≅ 0,891 c

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