Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 46
46. Use a expansão binomial e a equação R-17, para mostrar que, quando , a energia total é dada aproximadamente por .
Passo 1
(a) Sabemos que a equação a que se refere o problema, é dada pela seguinte fórmula
Que podemos reescrever como:
Agora, vamos fazer uma modificação algébrica dentro da nossa raiz e isolar o termo :
Pronto! Obtemos a primeira relação que queríamos. Agora vamos usar expansão binomial na nossa expressãozinha ali que está elevado a , para simplificar nossos cálculos. Lembra lá da expansão binomial?. Se não lembra é bom saber, que se existem dois números quaisquer e , ao elevarmos a soma desses dois números a outro número qualquer , a expressão pode ser escrita, por expansão binomial como:
Então, vamos reescrever nossa fórmula da raiz, obtida anteriormente, como:
Bom! Paramos até o segundo termo, porque depois daí, os outros são tão pequenos que aproximam-se de zero e devem ser desprezados! Isso é claro, já considerando a condição dada de que . Logo, chegamos que:
Passo 2
Agora, só o que nos resta fazer é substituir a aproximação para a expansão binomial encontrada na nossa fórmula da energia :
Esse resultado nada mais é do que a energia de repouso somado com a energia cinética não relativística.
Resposta
, que é a soma da energia cinética não-relativística com a energia de repouso.