46. Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos. Para tais elétrons a relação λ = h / p continua válida, porém, devemos usar a expressão relativística para o momento linear, p = m v / 1 - v 2 / c 2 . a ) Mostre que a

velocidade de um elétron que possui o comprimento de onda de De Broglie λ é dada por

v = c 1 + m c λ / h 2

b ) A grandeza h / m c é igual a 2,426 ⋅ 10 - 12   m . (Como vimos na Seção 38.7 , essa mesma grandeza aparece na Equação ( 38.23 ) , a expressão do espalhamento Compton de fótons por elétrons.) Se λ é pequeno em comparação h / m c , o denominador da expressão encontrada no item ( a ) é aproximadamente igual a 1 , e a velocidade v é aproximadamente igual a c . Nesse caso, é conveniente escrever v = ( 1 - Δ ) c e expressar a velocidade do elétron em termos

de Δ em vez de v . Encontre uma expressão para Δ válida quando λ ≪ h / m c . (Sugestão: use a série binomial 1 + z n = 1 + n z + n n - 1 z 2 / 2 + … válida para z < 1 . c ) Qual deve ser a velocidade de um elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual a 1,0 ⋅ 10 - 15   m , comparável ao diâmetro de um próton? Expresse sua resposta na forma v = ( 1 - Δ ) c , dizendo quanto vale Δ .

Passo 1

Então meu povo, esse problema quer saber mesmo é se agente sabe fazer conta, pois todos os contextos físicos já foram dados, ele só quer que encontremos expressões.

Só no item ( c ) que ele quer que encontremos um valor, mas faremos isso com base no que encontramos antes.

Passo 2

Vamos começar com item ( a ) , temos as seguintes informações:

λ = h p

Onde temos que:

p = m v / 1 - v 2 / c 2

Juntando as duas expressões, temos:

λ = h m v / 1 - v 2 / c 2

Agora temos que isolar v . Temos:

λ = h 1 - v 2 / c 2 m v

⇒ m v λ =   h 1 - v 2 c 2

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado, assim:

m 2 v 2 λ 2 = h 2 1 - v 2 c 2

⇒ m 2 v 2 λ 2 = h 2 - h 2 v 2 c 2

⇒ m 2 v 2 λ 2 + h 2 v 2 c 2 = h 2

Assim, temos que:

v 2 m 2 λ 2 + h 2 c 2 = h 2

⇒ v 2 m 2 λ 2 c 2 + h 2 c 2 = h 2

⇒ v 2 = h 2 c 2 m 2 λ 2 c 2 + h 2

Isolando h 2 no denominador, temos que:

v 2 = h 2 c 2 h 2 m 2 λ 2 c 2 h 2 + 1

⇒ v 2 = c 2 m 2 λ 2 c 2 h 2 + 1

Finalmente temos que:

v = c m λ c / h 2 + 1 1 / 2

Passo 3

Agora vamos nos ligar no seguinte, para encontrar uma expressão para Δ , vamos reescrever a expressão que achamos para v parecido com a seguinte expressão:

v = ( 1 - Δ ) c

Pois assim encontramos uma expressão para Δ .

Temos o seguinte:

v = c m λ c / h 2 + 1 1 / 2

⇒ v = c m λ c / h 2 + 1 - 1 / 2

Usando a expansão mostrada no enunciado até a primeira ordem, temos:

= c 1 - 1 2 m λ c h 2

Comparando com:

v = ( 1 - Δ ) c

Temos que:

Δ = 1 2 m λ c h 2

⇒ Δ = m 2 λ 2 c 2 2 h 2

Passo 4

Queremos encontrar v que faça com que tenhamos λ = 1,0 ⋅ 10 - 15   m

Primeiro vamos encontrar Δ e depois encontrar v com a expressão

v = ( 1 - Δ ) c

Vamos lá, temos que:

Δ = m 2 λ 2 c 2 2 h 2

Onde h = 6,63 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s , m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g , assim ficamos com:

Δ = ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) 2 ( 1 ⋅ 10 - 15 ) 2 ( 3 ⋅ 10 8 ) 2 2 ( 6,63 ⋅ 10 - 34 ) 2

= 746,76 ⋅ 10 - 76 87,91 ⋅ 10 - 68

Então temos que:

Δ = 8,5 ⋅ 10 - 8

Passo 5

Agora vamos encontrar a velocidade, temos que:

v = ( 1 - Δ ) c

⇒ v = ( 1 - 8,5 ⋅ 10 - 8 ) c

Resposta

( a )

v = c m λ c / h 2 + 1 1 / 2

( b )

Δ = m 2 λ 2 c 2 2 h 2

( c )

v = ( 1 - 8,5 ⋅ 10 - 8 ) c

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