46. Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos. Para tais elétrons a relação continua válida, porém, devemos usar a expressão relativística para o momento linear, . Mostre que a

velocidade de um elétron que possui o comprimento de onda de De Broglie é dada por

A grandeza é igual a . (Como vimos na Seção , essa mesma grandeza aparece na Equação , a expressão do espalhamento Compton de fótons por elétrons.) Se é pequeno em comparação , o denominador da expressão encontrada no item é aproximadamente igual a , e a velocidade é aproximadamente igual a . Nesse caso, é conveniente escrever e expressar a velocidade do elétron em termos

de em vez de . Encontre uma expressão para válida quando . (Sugestão: use a série binomial válida para . Qual deve ser a velocidade de um elétron para que seu comprimento de onda de De Broglie seja igual a , comparável ao diâmetro de um próton? Expresse sua resposta na forma , dizendo quanto vale .

Vamos começar com item , temos as seguintes informações:

Onde temos que:

Juntando as duas expressões, temos:

Agora temos que isolar . Temos:

Agora vamos elevar os dois lados ao quadrado, assim:

Assim, temos que:

Isolando no denominador, temos que:

Finalmente temos que:

Agora vamos nos ligar no seguinte, para encontrar uma expressão para , vamos reescrever a expressão que achamos para parecido com a seguinte expressão:

Pois assim encontramos uma expressão para .

Temos o seguinte:

Usando a expansão mostrada no enunciado até a primeira ordem, temos:

Comparando com:

Temos que:

Queremos encontrar que faça com que tenhamos

Primeiro vamos encontrar e depois encontrar com a expressão

Vamos lá, temos que:

Onde , , assim ficamos com:

Então temos que:

Agora vamos encontrar a velocidade, temos que: