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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 39.Problemas - Ex. 51

51. Energia do elétron em um núcleo. Os raios dos núcleos dos átomos são da ordem de 5,0 ⋅ 10 - 15   m . a ) Estime a incerteza mínima no momento linear de um elétron quando ele está confinado no núcleo. b ) Considere o valor da incerteza no momento linear como uma estimativa do módulo do momento linear. Use a expressão relativística entre a energia e o momento linear, Equação ( 37.39 ) , para obter uma estimativa da energia cinética de um elétron confinado em um núcleo. c ) Compare a energia calculada no item ( b ) com a energia potencial coulombiana entre um elétron e um próton separados por uma distância igual a 5,0 ⋅ 10 - 15   m . Com base em seu resultado, você acha que seria possível existir elétrons no interior de um núcleo? (Nota: é interessante comparar esse resultado com aquele obtido no Problema 39,50 .)

Passo 1

Para encontrar a incerteza pedida em ( a ) , basta usar o princípio da incerteza dado por:

Δ x Δ p = h 2 π

Então basta isolar a incerteza do momento ( Δ p ) , onde vamos fazer o Δ x igual ao raio do núcleo dado no enunciado.

Então, para o item ( b ) podemos achar a energia cinética pela seguinte equação:

K = E - m c 2

Onde como o enunciado falou vamos usar a equação 37.39 , dada por:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

⇒ E = m c 2 2 + p c 2

Vamos substituir essa expressão na equação da energia cinética.

Para encontrar a energia potencial pedida em ( c ) , basta lembrar que a energia potencial elétrica é dada por:

U = - k e 2 r

Onde k = 8,988 ⋅ 10 9   N ⋅ m 2 / C 2 , e é a carga do elétron 1,602 ⋅ 10 - 19 C e r o raio do átomo.

Passo 2

Vamos lá então pessoal, temos que:

Δ x Δ p = h 2 π

Isolando Δ p , temos que:

Δ p = h 2 π Δ x

Substituindo h = 6,626 ⋅ 10 - 34   J ⋅ s e Δ x pelo valor dado no enunciado, temos:

Δ p = 6,626 ⋅ 10 - 34 2 π (   5,0 ⋅ 10 - 15 )

= 6,626 ⋅ 10 - 34 31,42 ⋅ 10 - 15

Então temos que:

Δ p = 2,1 ⋅ 10 - 20   k g ⋅ m / s

Passo 3

Agora para o item ( b ) , temos que a energia cinética é dada por:

K = E - m c 2

Substituindo pela expressão de E temos:

K = m c 2 2 + p c 2 - m c 2

Lembrando que a massa do próton é m = 9 , 109 ⋅ 10 - 31   k g e substituindo os outros valores que sabemos, temos:

K = ( 9 , 109 ⋅ 10 - 31 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2 2 + ( 2,1 ⋅ 10 - 20 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2 - ( 9 , 109 ⋅ 10 - 31 ) ( 3 ⋅ 10 8 ) 2

= 6720,88 ⋅ 10 - 30 + 3969 0000 ⋅ 10 - 3 0 - 81,981 ⋅ 10 - 1 5

Então temos que:

K = 6,4 ⋅ 10 - 12   J

Passo 4

Agora vamos encontrara a energia potencial pedida em ( c ) , temos que:

U = - k e 2 r

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

U = - ( 8,988 ⋅ 10 9 ) ( 1,602 ⋅ 10 - 19 ) 2   5,0 ⋅ 10 - 15

Então temos que:

U = - 4,61 ⋅ 10 - 14   J

Só que o enunciado quer o resulta em e V e em M e V , para isso basta usarmos que:

1   J = 0,624 ⋅ 10 19   e V

1   J = 0,624 ⋅ 10 13   M e V

Então temos que:

U = - 2,88 ⋅ 10 5   e V = - 0,288   M e V

O que é muito maior que a energia potencial do elétron no átomo que é da ordem de centenas de e V .

Resposta

( a )

Δ p = 2,1 ⋅ 10 - 20   k g ⋅ m / s

( b )

K = 6,4 ⋅ 10 - 12   J

( c )

U = - 2,88 ⋅ 10 5   e V = - 0,288   M e V

É muito maior que a energia potencial do elétron no átomo que é da ordem de centenas de e V .

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