51. As naves da Federação Solar são marcadas com o símbolo da Federação, um círculo, enquanto as naves do Império Denebian são marcadas com o símbolo do Império, uma elipse cujo o eixo maior é 1,40 vezes maior do que o eixo menor ( a = 1,40 b na Figura 37.29 ). Com que velocidade, em relação a um observador uma nave do Império precisa se deslocar para que seu símbolo seja confundido com o símbolo das naves da Federação.

Passo 1

Então pessoal, para que a situação do enunciado aconteça temos que ter uma contração do espaço, onde queremos que a tenha o tamanho de b para o observador.

Então podemos usar a seguinte equação:

l = l 0 1 - u 2 / c 2

Onde l 0 é o comprimento natural no referencial da nave assim l 0 = a e l o comprimento visto pelo observador dado então l = b .

Então só temos que isolar u e calcular seu valor.

Passo 2

Vamos encontrar u , vamos isolar u primeiro, temos:

l = l 0 1 - u 2 / c 2

⇒ 1 - u 2 / c 2 = l l 0

Elevando os dois lados ao quadrado temos:

1 - u 2 c 2 = l l 0 2

u 2 c 2 = 1 - l l 0 2

Então temos que:

u = 1 - l l 0 2 c

Passo 3

Agora vamos substituir os valores de l e l 0 , temos:

u = 1 - b a 2 c

Mas o enunciado nos fala que a = 1,40 b , então:

u = 1 - b 1,4 b 2 c

= 1 - 1 1,4 2 c

= 1 - 0,51 c

Então temos que:

u = 0,7 c

Sabemos que c = 3 ⋅ 10 8   m / s , então:

u = 2,1 ⋅ 10 8   m / s

Então a nave deve ter essa velocidade.

Resposta

u = 2,1 ⋅ 10 8   m / s

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