Em 1852, H. Fizeu mediu a velocidade da luz v quando ela se propaga num tubo cheio de água em movimento. O escoamento da água, com velocidade V , é na mesma direção em que a luz se propaga. O resultado obtido por Fizeau foi

v = c n + V 1 - 1 n 2

onde n é o índice de refração da água e V < < c . Mostre que esse resultado decorre da lei relativística de composição de velocidades.

Passo 1

A partir da lei da composição das velocidades temos:

v ' = v + V 1 + v V c 2

Passo 2

Pelo enunciado temos que V é a velocidade do referencial não-inercial e v = c n . Podemos escrever então:

v ' = c n + V 1 + V n c

Passo 3

Para chegar na relação dada, vamos subtrair dos dois lados o termo c n :

v ' - c n = c n + V 1 + V n c - c n

Fazendo o MMC:

v ' - c n = c n + V - c n 1 + V n c 1 + V n c

v ' - c n = c n + V - c n 1 + V n c 1 + V n c

v ' - c n = c n + V - c n 1 + V n c 1 + V n c

v ' - c n = V - V n 2 1 + V n c

Passo 4

Como V < < c :

v ' - c n ≈ V - V n 2

Pondo V em evidência:

v ' - c n = V 1 - 1 n 2

v ' = c n + V 1 - 1 n 2

Chegamos na expressão do enunciado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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