Um indutor com indutância e resistência desprezível está ligado a uma bateria, uma chave e dois resistores, e (Figura ). A bateria tem emf de e resistência interna desprezível. é fechada em . Quais são as correntes , e logo após ser fechada? Quais são , e depois que tiver sido fechada por muito tempo? Aplique as leis de Kirchhoff ao circuito e obtenha uma equação diferencial para . Integre essa equação para obter uma equação para em função do tempo decorrido desde que foi fechada. Use a equação deduzida no item para

calcular o valor de t para o qual tem metade do valor final que você calculou no item . Quando tem metade de seu valor final, quais são os valores de e ?

Vamos começar com o item .

Ele quer os valores das correntes quando , como já vimos nesse instante o indutor funciona como uma barreira para corrente, logo .

Com essa condição nós só temos a bateria, o resistor e o , logo , para achar o valor dessas correntes podemos usar que:

Como os dois resistores estão em série eles tem uma resistência equivalente dada por:

Com isso temos que:

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

Então temos que:

Vamos para o item .

Ele quer os valores das correntes quando , como já vimos nesse instante o indutor se comporta como se não estivesse ali, logo temos a seguinte relação entre as correntes:

Mas a corrente sempre procura o caminho mais fácil para ela passar e nesse caso ela não vai passar pelo ramo que tem o resistor e sim só pelo o que tem o indutor que nessa condição não oferece dificuldade alguma para ela, assim:

E temos que , nessa situação temos um circuito formado apenas pela bateria e pelo resistor , assim temos que:

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

Agora para o item .

Para encontrar a equação de com dependência em vamos usar a lei das malhas ao nosso favor. Usando essa lei para o loop da esquerda formado pelos dois resistores e a bateria, temos:

Agora para o loop da direita formado por e o indutor, temos que:

Sabemos também que:

Jogando essa última equação na primeira, temos:

Assim temos que:

Agora jogando essa expressão na equação do loop da direita, temos:

Vamos separar as variáveis, temos:

Integrando os dois lados, do lado esquerdo de a e do lado direito de a , temos:

Aplicando exponencial dos dois lados temos:

Agora vamos para o item .

Queremos encontrar o valor de para que seja iguala a

Que é metade da corrente que encontramos em . Para isso vamos isolar na seguinte expressão que usamos no item anterior.

Substituindo o que temos para ficamos com:

Jogando o sinal de menos para dentro do , temos:

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

Então temos que:

Vamos para o item .

Queremos achar o valor de e para . Como já vimos temos que:

O valor de já temos, precisamos achar o de que aí teremos o de . Para achar podemos usar a seguinte expressão que encontramos no passo , temos:

Substituindo os valores conhecidos, temos:

Agora podemos achar , temos:

Questão finalizada com sucesso!