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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 52

52.Um macaco mecânico de 1,80   k g é suspenso por um pivô localizado a uma distância de 0,250   m de seu centro de massa e começa a oscilar como um pêndulo físico. O período da oscilação com ângulo pequeno é igual a 0,940   s . a ) Qual é o momento de inércia do macaco em relação a um eixo passando pelo pivô? b ) Quando ele é deslocado 0,400   r a d da sua posição de equilíbrio, qual é sua velocidade angular quando ele passa pela posição de equilíbrio.

Passo 1

Primeiro, para encontrarmos o momento de inércia podemos utilizar a fórmula do período do pêndulo físico, dada por:

T = 2 π I m g d

Mas por que essa fórmula? Vamos usá-la pelo fato de ela conter o momento de inércia que é o que queremos saber e todos os outros parâmetros contidos nela são conhecidos ou fornecidos pelo enunciado.

Para saber a velocidade angular podemos utilizar conservação de energia mecânica, pra mim é o caminho mais fácil, onde inicialmente só teremos energia potencial, pois iremos considerar o início com sendo a posição inicial dele, e a energia final será somente cinética, pois o ponto que ele atinge a máxima velocidade angular é o ponto mais baixo, onde não temos energia potencial.

Vale lembrar que a energia cinética de um corpo em um movimento “rotacional”, é dada por:

K = 1 2 I Ω 2

Então a nossa fórmula da conservação de energia fica da seguinte forma:

m g d 1 - cos ⁡ Θ = 1 2 I Ω m á x 2

Onde o Θ é o ângulo no qual o movimento começa, que é 0,400   r a d o momento de inércia vamos achar anteriormente no item ( a ) , assim, basta isolar a velocidade angular na fórmula acima e substituir o que sabemos.

Passo 2

Vamos começar calculando o momento de inércia do macaco, temos a seguinte fórmula comentada no passo 1

T = 2 π I m g d

Agora, vamos isolar o momento de inércia na fórmula. Temos:

I m g d = T 2 4 π 2

⇒ I = m g d T 2 4 π 2

Sabemos que m = 1,80   k g , g = 9,8   m / s 2 ,   d = 0,250   m e que T = 0,940   s , então temos:

I = 1,80 9,8 0,250 0,940 2 4 π 2

= 4,41 0,8836 4 π 2

Assim temos que:

I = 0,0987   k g ⋅ m 2

Passo 3

Agora vamos achar velocidade angular máxima, usando a fórmula da conservação da energia, mostrada no passo 1

m g d 1 - cos ⁡ Θ = 1 2 I Ω m á x 2

Isolando a velocidade angular, temos:

Ω m á x 2 = 2 m g d 1 - cos ⁡ Θ I

⇒ Ω m á x = 2 m g d 1 - cos ⁡ Θ I

Sabemos que m = 1,80   k g , g = 9,8   m / s 2 ,   d = 0,250   m ,   Θ = 0,400   r a d e que I = 0,0987   k g ⋅ m 2 , então temos:

Ω m á x = 2 ( 1,8 ) ( 9,8 ) ( 0,25 ) 1 - cos ⁡ ( 0,4 ) 0,0987

= 0,696 2 0,0987

Então temos que:

Ω m á x = 2,65   r a d / s

Resposta

a

I = 0,0987   k g ⋅ m 2

b

Ω m á x = 2,65   r a d / s

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