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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 38

38. A roda catarina de um relógio vibra com uma amplitude angular θ , uma frequência angular ω e um ângulo de fase ϕ = 0 . a ) Determine uma expressão para a velocidade angular d θ / d t e para a aceleração angular d 2 θ / d t 2 em função do tempo. b ) Determine a velocidade angular e a aceleração angular quando seu deslocamento angular for igual a θ ; e quando seu deslocamento angular for igual a θ / 2 e estiver diminuindo. (Sugestão: Faça um gráfico de θ em função de t ).

Passo 1

Para achar o que é pedido no item ( a ) , basta pegarmos a equação do deslocamento angular em função do tempo e derivar essa equação, como é mostrado no enunciado, a equação é a seguinte:

θ t = Θ cos ⁡ ω t + ϕ

Mas já sabemos pelo enunciado que ϕ = 0 .

E para encontrarmos o que é pedido em ( b ) vamos pegar as equações que temos e no lugar de θ colocarmos o que o enunciado quer saber, mas no caso irá ser melhor colocar Θ e Θ \ 2 .

Passo 2

Vamos começar a derivar a equação do deslocamento angular, temos:

ω = d θ d t = - ω Θ s in ⁡ ω t

E

α = d 2 θ d t 2 = - ω 2 Θ co s ⁡ ω t

Pronto, já temos o que o item ( a ) queria.

Passo 3

Agora vamos achar o valor de ω e α para Θ e Θ / 2 . Primeiro, temos o seguinte:

Θ = Θ cos ⁡ ω t

⇒ 1 = cos ⁡ ω t

Isso ocorre em t = 0 , então ω = 0

Sabendo que ω = 0 , vamos substituir isso na equação da aceleração, temos:

α = - ω 2 Θ cos ⁡ 0 * t

α = - ω 2 Θ

Agora vamos descobrir ω e α para Θ / 2 , então:

Θ / 2 = Θ cos ⁡ ω t

⇒ 1 2 = cos ⁡ ( ω t )

Assim, temos que:

ω t = π 3

Agora vamos usar a equação da velocidade angular ao nosso favor, já que temos ω t . Assim:

ω = - ω Θ s in ⁡ ω t

⇒ ω = - ω Θ sin ⁡ π 3

⇒ ω = - ω Θ 3 2

Sabendo que ω t = π / 3 , vamos substituir isso na equação da aceleração, temos:

α = - ω 2 Θ cos ⁡ π 3

α = - ω 2 Θ 2

Resposta

( a )

ω = d θ d t = - ω Θ sin ⁡ ω t

α = d 2 θ d t 2 = - ω 2 Θ cos ⁡ ω t

( b )

Para θ :

  ω = 0

α = - ω 2 Θ

Para θ / 2 :

ω = - ω Θ 3 2

α = - ω 2 Θ 2

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