Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 55
55. Cada um dos dois pêndulos mostrados na Figura consiste em uma sólida esfera uniforma de massa sustentado por uma corda de massa desprezível, porém a esfera do pêndulo é muito pequena, enquanto a esfera do pêndulo é bem maior. Calcule o período de cada pêndulo para deslocamentos pequenos. Qual das esferas leva mais tempo para completar uma oscilação?
Passo 1
Para achar o que o enunciado quer, temos que usara fórmula do período, que é o tempo de uma oscilação.
O pêndulo , pelo o que podemos ver na figura, esse pêndulo pode ser considerado simples e o pêndulo é um pêndulo físico, por conta da dimensão da esfera.
Então para o temos a seguinte fórmula do período:
E para o , temos:
Para o pêndulo não temos muito o que encontrar, mas para o pêndulo , já temos saber o valor de e .
Como só a esfera tem massa e o fio não, temos que , avaliando a figura, conseguimos ver também que .
O momento de inércia de uma esfera sólida com um eixo através do seu centro de massa é dado por:
Mas lembrando que o raio da esfera é .
Então:
Esse é o momento em relação a um eixo que passa pelo centro de massa da esfera, mas na nossa situação o eixo é onde o fio está preso, que é centro da oscilação, mas como achar o momento de inércia em relação a esse ponto?
Bem, podemos usar o teorema dos eixos paralelos, já que já conhecemos um momento de inércia de um eixo que é paralelo a esse e passa pelo centro de massa da esfera, assim:
O é a distância entre os eixos que é igual a e o é o momento que já conhecemos, então:
Passo 2
Vamos agora substituir o que encontramos na fórmula do período do pêndulo .
Passo 3
Se você reparar a primeira parte da fórmula do período do pêndulo é igual a do pêndulo . Então podemos escrever o seguinte:
Então como o período de é igual ao de vezes um número maior que um, logo:
Resposta
O pêndulo leva mais tempo.