53. A ponte Royal Gorge sobre o rio Arkansas (EUA) está a 310 m acima do rio. Uma praticante de bungee-jump de tem uma corda elástica, cujo comprimento quando não tensionada é de , presa aos seus pés. Suponha que, como uma mola ideal, a corda não possui massa e aplica uma força restauradora linear quando tensionada. A saltadora se lança e, em seu ponto mais baixo, mal consegue tocar a água. Após inúmeras subidas e descidas, ela termina a uma altura acima da água. Aplique à saltadora o modelo de partícula pontual e despreze a resistência do ar.

(a) Determine .

(b) Encontre a rapidez máxima da saltadora.

a) Da figura, tiramos que . O valor de já temos, igual a , que é o comprimento quando a corda não está tensionada. Mas e ? Como vamos obter?

Vamos aplicar a conservação de energia mecânica para o sistema, onde é a notação de energia cinética, é a notação de energia potencial e é o trabalho da força externa. Então, chegamos a:

Mas como , uma vez que não existem forças externas atuando temos que:

Só que e , nada mais são do que a diferença entre as energias finale e inicial e ). Com isso, obtemos que:

Agora, vamos analisar com calma o nosso problema. A questão pede o valor de . Logo, é conveniente usar como instante inicial, aquele em que a saltadora vai começar a pular da ponte, em repouso. Para o instante final, usemos a deformação máxima, no momento em que ela mal chega a tocar a água, faltando apenas um bocadinho de nada para tocar o rio. Tão de nada, que a gente até ignora! Bom! Baseado nessa análise, e valem zero e nossa equação fica assim:

Mas não se esquece aí, que a energia potencial final é a soma da energia potencial gravitacional, que vai ser negativa em razão do sentido positivo do nosso referencial ser para cima, e a energia potencial elástica.

Onde é a deformação da corda dada por .

Como precisamos do valor de

Agora, vamos fazer uma análise das forças de nosso sistema. O enunciado da nossa questão diz que a corda aplica uma força restaurada quando tensionada. Ou seja, esse força restauradora opõe-se à força que puxa nossa saltadora para baixo, a força peso. Após realizar então inúmeras subidas e descidasentão porque a nossa saltadora para a uma altura da água?

Ora! É simples! A força peso e a força restauradora, que é originada através da deformação ,tem o mesmo módulo e sentidos opostos. De modo que:

Já obtemos , que foi fornecido pelo enunciado e igual a . Conseguimos . O que falta então?

A resposta é mais nada. Só fazer uma subtração:

b) Assim como na letra a, vamos aplicar a conservação da energia mecânica para o nosso sistema. Mas desta vez, sem enrolação! Vamos direto pro que interessa

Onde e ,são respectivamente as energias potencial gravitacional e cinética, desta vez quando a bolinha encontra-se na altura , onde a velocidade é igual a . Logo a relação de antes ficará assim:

Ah! Esqueci de falar! é a mesma da letra a e igual a

Vamos aplicar as fórmulas relativas só para a energia potencial, sem perder tempo:

Porque fizemos isso? A resposta é simples. Se derivarmos em relação a , e igualarmos a , vamos encontrar logo de uma vez em que a posição a velocidade é máxima:

Como obtemos antes, que:

Basta então substituir o correspondente:

Mas, olha só. Já obtemos na letra a, que . É só cair pro abraço: