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Enunciado

Física - Randall D. Knight- Ed: 2º - Capítulo 10.Exercícios e Problemas - Ex. 53

53. O vagão de montanha-russa sobre o trilho sem atrito da FIGURA P10.53 parte do repouso na altura h . O trecho do trilho em vale e o trecho em forma de colina são, ambos, arcos circulares de raio R .

a . Qual é a altura máxima h m á x de partida para a qual o vagão não perde contato com o trilho no topo da colina? Expresse sua resposta como um múltiplo de R .

Sugestão: Determine primeiro a velocidade máxima do vagão sem que ele decole do trilho no topo da colina.

b . Calcule h m á x para o vagão se R = 10   c m .

Passo 1

Então galera, esse é um clássico problema de conservação de energia e vai ser isso que vamos usar para encontrar uma expressão para h m á x .

Vamos considerar nossa energia inicial no começo do movimento e nossa energia final no topo da colina.

Onde segundo o enunciado a velocidade final é igual a velocidade máxima que o vagão pode atingir sem sair do trilho.

Seguindo a sugestão do enunciado e encontrar essa velocidade primeiro, para isso vamos seguir na seguinte ideia.

Para o vagão não sair voando temos que a força resultante na direção y no topo da colina deva ser igual a força centrípeta, para que o vagão realize a curva da colina. Só temos duas forças que atuam na direção y no vagão que é a normal e a força peso do vagão.

Então vamos usar a segunda lei de Newton para avaliar essa situação e achar v .

Passo 2

Vamos começar então encontrando essa velocidade, temos o seguinte usando a segunda lei de Newton.

n - m g = - m v 2 R

A força centrípeta está negativa pois ela aponta para baixo justamente para o vagão fazer a curva nessa direção.

Agora isolando v , temos:

v 2 = R g - n R m

⇒ v = R g - n R m

Concorda comigo que para essa velocidade ser máxima a normal deve ser n = 0 , pois assim temos só a força gravitacional agindo de forma máxima como força centrípeta e logo temos que:

v = R g

Passo 3

Agora que temos a velocidade máxima que o carrinho pode ter sem sair do trilho podemos fazer a conservação de energia.

Vamos lá!

K i + U i = K f + U f

m v i 2 2 + m g y i = m v f 2 2 + m g y f

Levando em conta que o vagão parte do repouso, temos v i = 0 , queremos saber a altura máxima que o vagão pode começar o movimento, logo y i = h m á x e lembrando que o momento final é no topo da colina, temos y f = R .

Nossa expressão fica da seguinte forma:

m g h m á x = m v f 2 2 + m g R

Dividindo tudo pela massa m .

g h m á x = 1 2 v f 2 + g R

Usando a expressão que encontramos para v f , temos:

g h m á x = 1 2 g R 2 + g R

⇒ g h m á x = 1 2 g R + g R

Então temos que:

h m á x = 3 2 R

Passo 4

Agora para o item ( b ) basta substituirmos R = 10   m na expressão que encontramos e achar h m á x , temos:

h m á x = 3 2 ( 10 )

⇒ h m á x = 15   m

Resposta

( a )

h m á x = 3 2 R

( b )

h m á x = 15   m

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